Sustitución en integración

En cálculo, integración por sustitución, también conocido como cambio de variable, es un método para evaluar integrales y antiderivadas.^[1]​ Es la contraparte a la regla de cadena para diferenciación.

Antes de enunciar el teorema de manera formal, considere un caso sencillo para integrales indefinidas.

Calcular ${\displaystyle \textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx}$^[2]​

Sea ${\displaystyle u=2x^{3}+1}$. Esto significa ${\displaystyle \textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}}$ o en forma diferencial ${\displaystyle du=6x^{2}\,dx}$. Ahora

,${\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ es una constante arbitraria de integración.

Este procedimiento es frecuentemente utilizado pero no todas las integrales permiten su uso. En cualquier caso en que sea aplicable, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]&={\frac {1}{48}}\;8(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})\\&=x^{2}(2x^{3}+1)^{7}\end{aligned}}}$

Para integrales definidas, los límites de integración deben ajustarse a la nueva variable pero el procedimiento es prácticamente igual.

Sea ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to I}$ una función continuamente diferenciable donde ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ es un intervalo. Supóngase que ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ es una función continua entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.}$

La fórmula es usada para transformar una integral a una integral que es más fácil de calcular.

La fórmula de integración por sustitución puede ser demostrada utilizando el teorema fundamental de cálculo como sigue.

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle \varphi }$ funciones tales que ${\displaystyle f}$ es continua en ${\displaystyle I}$ y ${\displaystyle \varphi }$ tiene derivada ${\displaystyle \varphi '}$ tal que es integrable en el intervalo cerrado ${\displaystyle [a,b]}$ entonces la función ${\displaystyle f\left(\varphi (x)\right)\varphi '(x)}$ también es integrable en ${\displaystyle [a,b]}$. Por lo que las integrales

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx}$

y

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du}$

existen y queda demostrar que son iguales.

Dado que ${\displaystyle f}$ es continua, tiene una antiderivada ${\displaystyle F}$. La función compuesta ${\displaystyle F\circ \varphi }$ está definida, como ${\displaystyle \varphi }$ es diferenciable, combinando la regla de cadena y la definición de antiderivada obtenemos

${\displaystyle (F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).}$

Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}$

Considere la integral

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.}$

Haga la sustitución ${\displaystyle u=x^{2}+1}$ para obtener ${\displaystyle du=2xdx}$, esto es ${\displaystyle \textstyle xdx={\frac {1}{2}}du}$ Por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&={\frac {\operatorname {sen}(u)}{2}}{\bigg |}_{1}^{5}\\&={\frac {\operatorname {sen}(5)-\operatorname {sen}(1)}{2}}.\end{aligned}}}$

Dado que el límite inferior ${\displaystyle x=0}$ fue reemplazado por ${\displaystyle u=1}$ y el límite superior ${\displaystyle x=2}$ con ${\displaystyle 2^{2}+1=5}$, regresar a la variable original ${\displaystyle x}$, fue innecesario.

La sustitución puede ser usada para determinar antiderivadas. Uno escoge una relación entre ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle u}$, determina la relación correspondiente entre ${\displaystyle dx}$ y ${\displaystyle du}$ mediante diferenciación y realiza las sustituciones.

Similar al ejemplo 1 de arriba, la siguiente antiderivada puede ser obtenida utilizando este método:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} u+C\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {sen}(x^{2}+1)+C\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ es una constante arbitraria de integración.

Para este ejemplo, no hubo límites de integración que modificar pero en el último paso regresar a la variable original ${\displaystyle u=x^{2}+1}$ es necesario.

La función tangente puede ser integrada utilizando sustitución expresándola en términos del seno y coseno:

${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\,dx}$

Utilizando la sustitución ${\displaystyle u=\cos x}$ obtenemos ${\displaystyle du=-\sin x\,dx}$ y

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C\\&=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}}$

Uno también puede utilizar el método de sustitución cuando integra funciones de varias variables. Aquí la función de sustitución ${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})=\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})}$ necesita ser inyectiva y continuamente diferenciable, los diferenciales se transforman como

${\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})|\,du_{1}\cdots du_{n},}$

donde ${\displaystyle \det(D\varphi )(u_{1},\dots ,u_{n})}$denota el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales de ${\displaystyle \varphi }$ en el punto ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})}$.

De manera más precisa, el fórmula del cambio de variables se enuncia en el siguiente teorema

Teorema. Sean ${\displaystyle U}$ un subconjunto abierto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ una función diferenciable inyectiva con derivadas parciales continuas entonces para cualquier función continua real ${\displaystyle f}$ con soporte contenido en ${\displaystyle \varphi (U)}$

${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}$

Para funciones Lebesgue medibles, el teorema puede enunciarse de la siguiente forma:^[3]​

Teorema. Sean ${\displaystyle U}$ un subconjunto medible en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ una función inyectiva, suponga que para cada ${\displaystyle x\in U}$ existe ${\displaystyle \varphi '(x)\in \mathbb {R} ^{n,n}}$ tal que ${\displaystyle \varphi (y)=\varphi (x)+\varphi '(x)(y-x)+o(||y-x||)}$ cuando ${\displaystyle y\to x}$ entonces ${\displaystyle \varphi (U)}$ es medible y para cualquier función real ${\displaystyle f}$ definida en ${\displaystyle \varphi (U)}$

${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du}$

La sustitución puede ser utilizada para responder a la siguiente pregunta en probabilidad: dada una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ con función de densidad ${\displaystyle p_{X}}$ y otra variable aleatoria ${\displaystyle Y}$ tal que ${\displaystyle Y=\phi (X)}$, ¿cuál es función de densidad para ${\displaystyle Y}$?

Es muy fácil responder esta pregunta respondiendo primero: ¿cuál es la probabilidad de que ${\displaystyle Y}$ tome un valor en algún subconjunto particular ${\displaystyle S}$? Denote esta probabilidad ${\displaystyle P(Y\in S)}$, si ${\displaystyle Y}$ tiene función de densidad ${\displaystyle p_{Y}}$ entonces la respuesta es

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}$

pero esto realmente no es útil pues no sabemos quién es ${\displaystyle p_{Y}}$; que es lo que estamos intentando encontrar. Podemos progresar si consideramos el problema en la variable ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle Y}$ toma un valor en ${\displaystyle S}$ siempre que ${\displaystyle X}$ toma un valor en ${\displaystyle \phi ^{-1}(S)}$, por lo que

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}$

cambiando de variable ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ obtenemos

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}$

combinando esto con la primera ecuación tendremos

${\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}$

por lo que

${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}$

En el caso en el que ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ dependan de varias variables no correlacionadas, es decir, ${\displaystyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ y ${\displaystyle y=\phi (x)}$, ${\displaystyle p_{Y}}$ puede ser hallada por sustitución en varias variables como se mencionó anteriormente, este resultado es

${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}$

• Función de densidad de probabilidad
• Sustitución de variables
• Sustitución trigonométrica
• Sustitución de Weierstrass
• Sustitución de Euler

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Calculus /Early Transcendentals (Single Variable edición), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3 .
• Ferzola, Anthony P. (1994), «Euler and differentials», The College Mathematics Journal 25 (2): 102-111, doi:10.2307/2687130, archivado desde el original el 7 de noviembre de 2012, consultado el 6 de abril de 2021 .
• Fremlin, D.H. (2010), Measure Theory, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4 ..
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7 ..
• Katz, V. (1982), «Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan», Mathematics Magazine 55 (1): 3-11, doi:10.2307/2689856 .
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1 ..
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (alternate edición), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7 .
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6 ..

• Integración por sustitución en Enciclopedia de Matemáticas
• Fórmula de área en Enciclopedia de Matemáticas