Producto tensorial de espacios de Hilbert
En matemáticas, y en particular en análisis funcional, el producto tensorial de espacios de Hilbert es una forma de extender la construcción de un producto tensorial, de modo que el resultado de tomar un producto tensorial de dos espacios de Hilbert sea otro espacio de Hilbert. En términos generales, el producto tensorial es la completación del espacio métrico del producto tensorial ordinario, y es un ejemplo de producto tensorial topológico. El producto tensorial permite recopilar espacios de Hilbert en una categoría monoidal simétrica.[1]
Definición
Dado que los espacios de Hilbert tienen productos internos, se desea introducir un producto interno y, por lo tanto, una topología, en el producto tensorial que surge naturalmente de los productos internos de los factores. Sean y dos espacios de Hilbert con productos internos y respectivamente. Constrúyase el producto tensorial de y como espacios vectoriales como se explica en el artículo sobre el producto tensorial. Se puede convertir este producto tensorial del espacio vectorial en un espacio prehilbertiano definiendo
y extendiéndose por linealidad. Que este producto interno sea el natural se justifica por la identificación de aplicaciones bilineales con valores escalares en y funcionales lineales en su su producto tensorial en el espacio vectorial. Finalmente, tómese la completación bajo este producto interno. El espacio de Hilbert resultante es el producto tensorial de y
Construcción explícita
El producto tensorial también se puede definir sin recurrir a la completación del espacio métrico. Si y son dos espacios de Hilbert, se asocia a cada tensor simple producto el operador de rango uno de a que asigna un dado como
Esto se extiende a una identificación lineal entre y el espacio de operadores de rango finito de a Los operadores de rango finito están integrados en el espacio de Hilbert del operador de Hilbert-Schmidt de a El producto escalar en viene dado por
donde es una base ortonormal arbitraria de
Bajo la identificación anterior, se puede definir el producto tensorial hilbertiano de y que es isométrica y linealmente isomorfo a
Propiedad universal
El producto tensorial de Hilbert se caracteriza por la siguiente propiedad universal (Kadison y Ringrose, 1997, Theorem 2.6.4):
|
Una aplicación débil de Hilbert-Schmidt se define como una aplicación bilineal para la que existe un número real , tal que
para todas las bases ortonormales y una (por lo tanto todas) de y de
Como ocurre con cualquier propiedad universal, esto caracteriza al producto tensorial H de forma única, hasta el isomorfismo. La misma propiedad universal, con modificaciones obvias, también se aplica al producto tensorial de cualquier número finito de espacios de Hilbert. Es esencialmente la misma propiedad universal compartida por todas las definiciones de productos tensoriales, independientemente de los espacios que se tensorizan: esto implica que cualquier espacio con un producto tensorial es una categoría monoidal simétrica, y los espacios de Hilbert son un ejemplo particular de ello.
Productos tensoriales infinitos
Históricamente se han propuesto dos definiciones diferentes para el producto tensorial de una colección de espacios de Hilbert de tamaño arbitrario. La definición tradicional de Von Neumann simplemente toma el producto tensorial "obvio": para calcular , primero se deben recopilar todos los tensores simples de la forma tales que . Este último describe un producto pre-interno a través de la identidad de polarización, así que se debe tomar el tramo cerrado de módulos de tales tensores simples de los subespacios de isotropía del producto interno. Esta definición casi nunca es separable, en parte porque, en sus aplicaciones físicas, "la mayor parte" del espacio describe estados imposibles. Los autores modernos suelen utilizar en su lugar una definición debida a Guichardet: para calcular , primero selecciónese un vector unitario en cada espacio de Hilbert y luego recopílense todos los tensores simples de la forma , en los que solo un número finito de no son . Luego, tómese la completación de estos tensores simples.[2][3]
Álgebras de operadores
Sea el álgebra de von Neumann de operadores acotados en para Entonces, el producto tensorial de von Neumann de las álgebras de von Neumann es la completación fuerte del conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de productos tensoriales simples , donde para Esto es exactamente igual al álgebra de von Neumann de operadores acotados de A diferencia de los espacios de Hilbert, se pueden tomar productos tensoriales infinitos de las álgebras de von Neumann y, de hecho, una C*-álgebra de operadores, sin definir estados de referencia.[3] Ésta es una ventaja del método "algebraico" en la mecánica estadística cuántica.
Propiedades
Si y tienen bases ortonormales y respectivamente, entonces es una base ortonormal para En particular, la dimensión de Hilbert del producto tensorial es el producto (como números cardinales) de las dimensiones de Hilbert.
Ejemplos y aplicaciones
Los siguientes ejemplos muestran cómo surgen naturalmente los productos tensoriales.
Dados dos espacios de medida e , con medidas y respectivamente, se puede considerar el espacio de funciones en que son integrables al cuadrado con respecto a la medida del producto Si es una función integrable al cuadrado en y es un cuadrado función integrable en entonces se puede definir una función en por
La definición de la medida del producto asegura que todas las funciones de esta forma sean integrables al cuadrado, por lo que esto define un operador bilineal Combinaciones lineales de funciones de la forma también aparecen en Resulta que el conjunto de combinaciones lineales es de hecho denso en si y son separables.[4] Esto muestra que es isomorfo a y también explica por qué se necesita completar la construcción del producto tensorial espacial de Hilbert.
De manera similar, se puede demostrar que , que denota el espacio de funciones cuadradas integrables, es isomorfo a si este espacio es separable. El isomorfismo asigna a . Se puede combinar esto con el ejemplo anterior y concluir que y son ambos isomorfos a
Los productos tensoriales de los espacios de Hilbert surgen a menudo en mecánica cuántica. Si alguna partícula se describe mediante el espacio de Hilbert y otra partícula se describe mediante entonces el sistema que consta de ambas partículas se describe mediante el producto tensorial de y Por ejemplo, el espacio de estados de un oscilador armónico cuántico es por lo que el espacio de estados de dos osciladores es que es isomorfo a Por lo tanto, el sistema de dos partículas se describe mediante funciones de onda de la forma Un ejemplo más complejo lo proporcionan los espacios de Fock, que describen un número variable de partículas.
Referencias
- ↑ B. Coecke y E. O. Paquette, Categories for the practising physicist, in: New Structures for Physics, B. Coecke (ed.), Springer Lecture Notes in Physics, 2009. arXiv:0905.3010
- ↑ Nik Weaver (8 March 2020). Answer to Result of continuum tensor product of Hilbert spaces. MathOverflow. Stack Exchange.
- ↑ a b Bratteli, O. and Robinson, D: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics v.1, 2nd ed., page 144. Springer-Verlag, 2002.
- ↑ Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1961) [1960]. Elements of the theory of functions and functional analysis (Hyman Kamel; Horace Komm, trad.). 2: Measure, the Lebesgue integral, and Hilbert space. Albany: Graylock. p. 100, ex. 3. LCCN 57004134.
Bibliografía
- Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I. Graduate Studies in Mathematics 15. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0819-1. MR 1468229. .
- Weidmann, Joachim (1980). Linear operators in Hilbert spaces. Graduate Texts in Mathematics 68. Berlin, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-90427-6. MR 566954. .
Datos: Q1404488