Politopo cíclico
En matemáticas, un politopo cíclico, denotado como C(n,d), es un tipo de politopo convexo formado como la envolvente convexa de n puntos distintos de una curva normal racional en Rd, donde n es mayor que d. Estos politopos fueron estudiados por Constantin Carathéodory, David Gale, Theodore Motzkin, Victor Klee y otros. Desempeñan un papel importante en la combinatoria poliédrica: según el teorema del límite superior, demostrado por Peter McMullen y Richard Stanley, el límite Δ(n,d) del politopo cíclico C (n,d) maximiza el número fi de caras de dimensión i entre todos las esferas simpliciales de dimensión d − 1 con n vértices.
Definición
La curva de momentos en está definida por
- .[1]
El politopo cíclico de dimensión con vértices es la envolvente convexa
de distintos puntos con en la curva de momentos.[1]
La estructura combinatoria de este politopo es independiente de los puntos elegidos, y el politopo resultante tiene dimensión d y n vértices.[1] Su límite es un politopo simplicial (d − 1)-dimensional denotado Δ(n,d).
Condición de uniformidad de Gale
La condición de uniformidad de Gale[2] proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar una cara en un politopo cíclico.
Sea . Entonces, si y solo si un subconjunto forma una faceta de . Dos elementos cualquiera en están separados por un número par de elementos de en la secuencia .
Politopos vecinos
Los politopos cíclicos son ejemplos de politopos vecinos, ya que cada conjunto de como máximo d/2 vértices forma una cara. Fueron los primeros politopos vecinos conocidos, y Theodore Motzkin conjeturó que todos los politopos vecinos son combinatoriamente equivalentes a los politopos cíclicos, pero ahora se sabe que esto es falso.[3][4]
Número de caras
El número de caras de dimensión i del politopo cíclico Δ(n,d) viene dado por la fórmula
y determinan completamente a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville.
Teorema del límite superior
El teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el máximo número posible de caras para una determinada dimensión y número de vértices: si Δ es una esfera simplicial de dimensión d − 1 con n vértices, entonces
La conjetura del límite superior para los politopos simpliciales fue propuesta por Theodore Motzkin en 1957 y probada por Peter McMullen en 1970. Victor Klee sugirió que la misma declaración debería ser válida para todas las esferas simpliciales y esto fue establecido en 1975 por Richard P. Stanley[5] utilizando la noción del anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos.
Véase también
- Álgebra conmutativa combinatoria
Referencias
- ↑ a b c Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Combinatorial commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics 227. New York, NY: Springer Science+Business Media. p. 119. ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001.
- ↑ Ziegler, Günter (1994). Lectures on Polytopes. Springer. pp. 14. ISBN 0-387-94365-X.
- ↑ Gale, David (1963), «Neighborly and cyclic polytopes», en Klee, Victor, ed., Convexity, Seattle, 1961, Symposia in Pure Mathematics 7, American Mathematical Society, pp. 225-233, ISBN 978-0-8218-1407-9 ..
- ↑ Shermer, Ido (1982). «Neighborly polytopes». Israel Journal of Mathematics 43 (4): 291-311. doi:10.1007/BF02761235. .
- ↑ Stanley, Richard (1996). Combinatorics and commutative algebra. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pp. 164. ISBN 0-8176-3836-9.
Datos: Q245469