Plano de Minkowski

En matemáticas, un plano de Minkowski (llamado así por el matemático alemán Hermann Minkowski (1864-1909)) es uno de los planos de Benz (los otros dos son el plano de Möbius y el plano de Laguerre).^[1]​

Aplicando la distancia pseudoeuclídea ${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}}$ a dos puntos ${\displaystyle P_{i}=(x'_{i},y'_{i})}$ (en lugar de la distancia euclídea), se obtiene la geometría de las hipérbolas, porque una circunferencia pseudoeuclídea ${\displaystyle \{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}}$ es una hipérbola con punto medio ${\displaystyle M}$.

Mediante una transformación de coordenadas ${\displaystyle x_{i}=x'_{i}+y'_{i}}$, ${\displaystyle y_{i}=x'_{i}-y'_{i}}$, la distancia pseudoeuclídea se puede reescribir como ${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}$. Las hipérbolas tienen entonces asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas denotados sin comilla (es decir, a x e y; y no a x' e y' ).

La siguiente completación (véase plano de Möbius y plano de Laguerre) homogeneiza la geometría de las hipérbolas:

• El conjunto de puntos:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,}$

• El conjunto de ciclos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}}$

La estructura de incidencia ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ se llama plano de Minkowski real clásico.^[2]​

El conjunto de puntos consta de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, dos copias de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y el punto ${\displaystyle (\infty ,\infty )}$.

Cualquier línea recta ${\displaystyle y=ax+b,a\neq 0}$ se completa con el punto ${\displaystyle (\infty ,\infty )}$; y cualquier hipérbola ${\displaystyle y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0}$ se completa con los dos puntos ${\displaystyle (b,\infty ),(\infty ,c)}$ (véase la figura).

Dos puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}$ no pueden conectarse mediante un ciclo si y solo si ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ o ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$.

Se define entonces:

• Dos puntos ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ son (+)-paralelos (${\displaystyle P_{1}\parallel _{+}P_{2}}$) si ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ y (-)-paralelos (${\displaystyle P_{1}\parallel _{-}P_{2}}$) si ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$.

Ambas son relaciones de equivalencia en el conjunto de puntos.

• Dos puntos ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ se llaman paralelos (${\displaystyle P_{1}\parallel P_{2}}$) si ${\displaystyle P_{1}\parallel _{+}P_{2}}$ o ${\displaystyle P_{1}\parallel _{-}P_{2}}$.

De la definición anterior, se deduce que:

Lema:

• Para cualquier par de puntos no paralelos ${\displaystyle A,B}$ existe exactamente un punto ${\displaystyle C}$ con ${\displaystyle A\parallel _{+}C\parallel _{-}B}$.
• Para cualquier punto ${\displaystyle P}$ y cualquier ciclo ${\displaystyle z}$ hay exactamente dos puntos ${\displaystyle A,B\in z}$ con ${\displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$.
• Para tres puntos cualesquiera ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo ${\displaystyle z}$ que contiene ${\displaystyle A,B,C}$.
• Para cualquier ciclo ${\displaystyle z}$, cualquier punto ${\displaystyle P\in z}$ y cualquier punto ${\displaystyle Q,P\not \parallel Q}$ y ${\displaystyle Q\notin z}$ existe exactamente un ciclo ${\displaystyle z'}$ tal que ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$, es decir, ${\displaystyle z}$ toca a ${\displaystyle z'}$ en el punto P.

Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de secciones planas de una cuádrica adecuada. Pero en este caso, la cuádrica se define en un espacio tridimensional 'proyectivo: el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide (cuádrica no degenerada de índice 2).

Sea ${\displaystyle \left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)}$ una estructura de incidencia con el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ de puntos, el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ de ciclos y dos relaciones de equivalencia ${\displaystyle \parallel _{+}}$ ((+)-paralela) y ${\displaystyle \parallel _{-}}$ ((-)-paralela) en el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Para ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$, se define:

${\displaystyle {\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}}$ y ${\displaystyle {\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}}$.

Una clase de equivalencia ${\displaystyle {\overline {P}}_{+}}$ o ${\displaystyle {\overline {P}}_{-}}$ se denomina (+)-generador y (-)-generador, respectivamente (para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea sobre el hiperboloide).

Dos puntos ${\displaystyle A,B}$ se llaman paralelos (${\displaystyle A\parallel B}$) si son ${\displaystyle A\parallel _{+}B}$ o ${\displaystyle A\parallel _{-}B}$.

Una estructura de incidencia ${\displaystyle {\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas:

• C1: Para cualquier par de puntos no paralelos ${\displaystyle A,B}$ existe exactamente un punto ${\displaystyle C}$ con ${\displaystyle A\parallel _{+}C\parallel _{-}B}$.
• C2: Para cualquier punto ${\displaystyle P}$ y cualquier ciclo ${\displaystyle z}$ existen exactamente dos puntos ${\displaystyle A,B\in z}$ con ${\displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$.
• C3: Para tres puntos cualesquiera ${\displaystyle A,B,C}$, no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo ${\displaystyle z}$ que contiene ${\displaystyle A,B,C}$.
• C4: Para cualquier ciclo ${\displaystyle z}$, cualquier punto ${\displaystyle P\in z}$ y cualquier punto ${\displaystyle Q,P\not \parallel Q}$ y ${\displaystyle Q\notin z}$ existe exactamente un ciclo ${\displaystyle z'}$ tal que ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$, es decir, ${\displaystyle z}$ toca a ${\displaystyle z'}$ en el punto ${\displaystyle P}$.
• C5: Cualquier ciclo contiene al menos 3 puntos. Existe al menos un ciclo ${\displaystyle z}$ y un punto ${\displaystyle P}$ que no está en ${\displaystyle z}$.

También se establecen otras declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1 y C2 respectivamente):

• C1': Para dos puntos cualesquiera ${\displaystyle A,B}$ se tiene que ${\displaystyle \left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1}$.
• C2': Para cualquier punto ${\displaystyle P}$ y cualquier ciclo ${\displaystyle z}$ se tiene que: ${\displaystyle \left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|}$.

Las primeras consecuencias de los axiomas son:

De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, se obtiene la conexión con la geometría del plano lineal a través de los residuos.

Para un plano de Minkowski ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ y ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ se define la estructura local

${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )}$, que se denomina residuo en el punto P.

Para el plano clásico de Minkowski, ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}}$ es el plano afín real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.

El modelo mínimo de un plano de Minkowski se puede establecer sobre el conjunto ${\displaystyle {\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}}$ de tres elementos:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}}$

En cuanto a los puntos paralelos, se tiene que:

• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})}$ si y solo si ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$
• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})}$ si y solo si ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$.

De ahí que ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|=9}$ y ${\displaystyle \left|{\mathcal {Z}}\right|=6}$.

Para planos de Minkowski finitos, se obtiene de C1′ y C2′:

Esto da lugar a la siguiente definición:

• Para un plano finito de Minkowski ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ y un ciclo ${\displaystyle z}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, el número entero ${\displaystyle n=\left|z\right|-1}$ se denomina el orden de ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$.

Consideraciones combinatorias simples permiten deducir que:

Los ejemplos más relevantes de planos de Minkowski se obtienen generalizando el modelo real clásico: simplemente, basta con reemplazar ${\displaystyle \mathbb {R} }$ por un cuerpo ${\displaystyle K}$ arbitrario y se obtiene en cualquier caso un plano de Minkowski ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$.

De manera análoga a los planos de Möbius y de Laguerre, el teorema de Miquel es una propiedad característica de un plano de Minkowski ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$.

Teorema (Miquel):

• Para el plano de Minkowski ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ se cumple lo siguiente:

Si para cualquier 8 puntos no paralelos dos a dos ${\displaystyle P_{1},...,P_{8}}$ que se pueden asignar a los vértices de un cubo de manera que los puntos en 5 caras correspondan a cuadrupletes concíclicos, entonces el sexto cuadruplete de puntos también es concíclico (para una mejor visión general en la figura se han empleado circunferencias en lugar de hipérbolas).

Teorema (Chen):

• Solo un plano de Minkowski ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ satisface el teorema de Miquel.

Debido a este último teorema, ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ se denomina plano miqueliano de Minkowski.

Observación:

El modelo mínimo de un plano de Minkowski es miqueliano.

Es isomorfo al plano de Minkowski ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ con ${\displaystyle K=\operatorname {GF} (2)}$ (campo ${\displaystyle \{0,1\}}$).

Un resultado sorprendente es que:

Teorema (Heise):

• Cualquier plano de Minkowski de orden par es miqueliano.

Observación:

Una proyección estereográfica adecuada muestra que ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ es isomorfo a la geometría de las secciones planas en un hiperboloide de una hoja (cuádrica de índice 2) en el 3-espacio proyectivo sobre el campo ${\displaystyle K}$.

Observación:

Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (véase el enlace web que figura a continuación). Pero no existen planos ovoidales de Minkowski, a diferencia de lo que sucede con los planos de Möbius y de Laguerre, dado que cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es una cuádrica (véase conjunto cuadrático).

• Geometría conforme

• Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer
• Francis Buekenhout (editor) (1995) Manual de Incidence Geometry, Elsevier ISBN 0-444-88355-X

• Plano de Benz en la Encyclopaedia of Mathematics
• Nota de conferencia Geometrías circulares planas, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski