Una matriz hermitiana (o hermítica, en memoria del matemático francés Charles Hermite) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:
![{\displaystyle a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24099a212a402c11f8fc675d0387a92026d0d32c)
o, escrita con la traspuesta conjugada A*:
![{\displaystyle A=(A^{T})^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a4ed414099b5dd20b52c6e4ee6050f9a786903)
Por ejemplo,
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed015e6fc7f9c9e8c145d18dd63696e303f36bc9)
es una matriz hermítica.
Propiedades
- Sea
, donde
es hermitiana y
y
reales, entonces
es simétrica (
) y
antisimétrica (
). - La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana, siempre y cuando la matriz inicial sea invertible (
). - En relación con la propiedad 1, los autovalores de estas matrices son reales.
- En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
- El determinante de una matriz hermitiana es un número real.
Diagonalización de matrices hermíticas
Sea
Hermítica, es decir
. Entonces
es diagonalizable unitariamente. O sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:
![{\displaystyle A=P\cdot \Delta \cdot P^{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b59ed098c6ebf16f66b6f487b3ba5527bf4f4f1)
En donde:
es una matriz unitaria y el conjunto
es ortonormal y está formado por autovectores de
asociados a sus respectivos autovalores. Estos vectores deben ir en orden, respecto de sus autovalores.
una matriz diagonal formada con autovalores de
(todos reales)
Propiedades
es unitaria si y sólo si
lo que implica que son ortogonales, es decir,
para todo i distinto de j, y si i es igual a j entonces
. Donde
es el producto interno canónico en
.
- Entonces el conjunto
es una base ortonormal de
. Observar que la implicación de que el producto interno de 1 si coinciden los subíndices, implica que
es un conjunto ortonormal.
- Caso particular: cuando la matriz unitaria cumple además
(observar que se trata sólo del caso real), entonces ocurre que
. En este caso la matriz
se dice involutiva y está asociada a una reflexión respecto de un plano. Ver transformación de Householder
- Analicemos el siguiente caso suponiendo
. O sea
autovalor de
asociado al autovector
:
![{\displaystyle {\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle =\langle \lambda v,v\rangle =\langle Av,v\rangle =(Av)^{H}\cdot v=v^{H}A^{H}\cdot v=v^{H}A\cdot v=\langle v,Av\rangle =\langle v,\lambda v\rangle =\lambda \langle v,v\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d53c50b33d71db74ae9fb837abb47772379787)
- De donde
![{\displaystyle {\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle =\lambda \langle v,v\rangle \Longleftrightarrow {\overline {\lambda }}=\lambda \Longleftrightarrow \lambda \in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b66ca3f978c19086b67ba5d9d2fbd4e0331eab)
- Sean
autovectores de la matriz Hermítica
asociados a los autovalores
respectivamente. Supongamos que al menos, existe un par de estos últimos distintos, es decir,
para algún par
. Entonces
. Es decir, autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales
![{\displaystyle \lambda _{i}\langle v_{i},v_{j}\rangle =\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\rangle =\langle Av_{i},v_{j}\rangle =v^{H}A^{H}v_{j}=v^{H}Av_{j}=\langle v_{i},Av_{j}\rangle =\langle v_{i},\lambda _{j}v_{j}\rangle =\lambda _{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b72a8f88ec7c2d49af358453ee22b987faab33)
- De donde
![{\displaystyle \lambda _{i}\langle v_{i},v_{j}\rangle =\lambda _{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle \Longleftrightarrow (\lambda _{i}-\lambda _{j})\langle v_{i},v_{j}\rangle =0\Longleftrightarrow v_{i}\,\,\bot \,\,v_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c14498f72e18e43d8f329903bfa38406a939c2)
Ejemplos
1) Sea
una matriz real simétrica (caso particular de Hermítica, con Imag(A) = 0). Entonces, se ve que
es autovalor de
asociado al autovector
, es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es
El otro autovalor es
asociado al autovector
, es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es
Como se puede ver,
; es decir, son ortogonales. O sea
La descomposición de la matriz es:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b103274b1a593d483e148542fd6616130125d6)
O si no:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca73c77fad0834b75db3a2a957e9b205f97212d)
Véase también
Enlaces externos
Datos: Q652941