Lema de Jordan

En análisis complejo, el lema de Jordan es un resultado frecuentemente utilizado conjuntamente con el teorema de los residuos para evaluar integrales de contorno e integrales impropias. Debe su nombre al matemático francés Camille Jordan.

Sea f una función continua evaluada en el cuerpo de los complejos, definida en un contorno semicircular

${\displaystyle C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}}$

De radio positivo R sobre el semiplano superior, centrado en el origen. Si la función f es de la forma

${\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C_{R},}$

con un parámetro positivo a, entonces el lema de Jordan establece la siguiente cota superior para la integral de contorno:

${\displaystyle \left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{donde}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.}$

El mismo resultado es aplicable al semiplano inferior (y no al semiplano superior) cuando a < 0

• Si f es continuo en el contorno semicircular C_R para todo R grande

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }M_{R}=0}$

(*)

entonces por el lema de Jordan

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.}$

• Para el caso a = 0 = 0, véase el lema de valoración.
• Comparado al lema de valoración, el límite superior en el lema de Jordan no depende explícitamente de la longitud del contorno de C_R.

El lema de Jordan nos ofrece una forma sencilla de calcular la integral a lo largo del eje real de funciones del tipo f(z) = e^{i a z} g(z) que sean holomorfas en el semiplano superior y continuas en el cierre del semiplano superior excepto en un número fínito de singularidades fuera del eje real z₁, z₂, …, z_n. Consideramos el contorno cerrado C el cual es la concatenación de los caminos C₁ y C₂, como se muestra en la imagen. Por definición:

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,.}$

Dado que en C₂ la variable z es real, la segunda integral es real:

${\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.}$

El lado izquierdo puede ser calculado usando el teorema de los residuos para obtener, para todo R mayor que el máximo de |z₁|, |z₂|, …, |z_n|,

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,,}$

Dónde Res(f, z_k) denota el residuo de f en la singularidad z_k. De ahí, si f satisface la condición ${\displaystyle \lim _{R\to \infty }M_{R}=0}$, entonces tomando el límite donde R tiende a infinito, la integral de contorno sobre C₁ se anula por el lema de Jordan, y obtenemos el valor de la integral impropia

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.}$

La función

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},}$

Satisface la condición del lema de Jordan con a = 1 = 1 para todo R > 0 con R ≠ 1. Véase que, para R > 1,

${\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,}$

Por ello la condición ${\displaystyle \lim _{R\to \infty }M_{R}=0}$ se cumple. Dado que la única singularidad de f en el semiplano superior está en z = i, obtenemos que la integral impropia sobre todo el eje real cumple que:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}$

Dado que z = i es un polo simple de f y 1 + z² = (z + i)(z − i) obtenemos que

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.}$

Este resultado ejemplifica la forma en la que algunas integrales complicadas de computar por otros métodos son fácilmente evaluadas con la ayuda del análisis complejo.

Por la definición de la integral de línea compleja,

${\displaystyle \int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.}$

Véase que la desigualdad

${\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx}$

nos lleva a que

${\displaystyle I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Usando ${\displaystyle M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|}$ y la simetría sin θ = sin(π – θ) obtenemos que

${\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Dado que la gráfica de sin θ es cóncava en el intervalo θ ∈ [0, π ⁄ 2], la gráfica de sin θ se encuentra por encima de la línea que conecta sus puntos inicial y final, por lo tanto:

${\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }$

para todo θ ∈ [0, π ⁄ 2], lo que implica que

${\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}$

• Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Complex Variables and Applications (7th edición). New York: McGraw Hill. pp. 262–265. ISBN 0-07-287252-7.