En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:
![{\displaystyle 0\div 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db25f3ad4b9aa99156e83187ca8f38eabded7bd3)
![{\displaystyle {\infty }\div {\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a5b4c2d147e6d8b8e41f6f26e7cab63a053cfa)
![{\displaystyle 0\times \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2c67d872e7859a5b51d652639651d1e1384df0)
![{\displaystyle \infty -\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2de5209a9f5b3bab9a466abf9221e9c91755020)
![{\displaystyle 0^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106f0c4e1cbccbfcbb61001a8c17b8427c65366d)
![{\displaystyle 1^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988869a0362e128b4af50b11e2ad596ac5fef5bd)
![{\displaystyle \infty ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f911748ad82beb098e18fd86089f22a4d25688)
![{\displaystyle {\sqrt[{0}]{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e81c6ac4edeb9411c9b9dc4c53929e6783d2e4f)
![{\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa88b5f59904c66e8240bb8c83135992055cbc3a)
![{\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ed399caccece1c9829917c3fa73a66c9444bb9)
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, menos generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.
Interpretación
El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.
Cociente indeterminado
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a
, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0,
o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4979537e46c2ee11ceb28bed3d8de5a13266c0)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18082b89ecf8a75568e552133f0ebd4b52d8db7)
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ထ/ထ. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.
Ejemplos:
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f951c73a571272db68734e7a92c94b7459b428f)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8cec4b7046d1725df8927cda126ae3d94892bb)
Producto indeterminado
La forma indeterminada 0 • ထ
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8701c29ce9758f10f4a27794c8eeb5a7400205b9)
![{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417e2e1d36d3c9465a0e2f2df2870b741ec63652)
Diferencia indeterminada
En los casos en que el límite de una diferencia es
, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo
. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.
Potencia indeterminada
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c4e74b07702bebee67ab1e83399644323b515b)
Ejemplo: el siguiente límite[1]
, es de la forma
; considerando
![{\displaystyle y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8335e7784b3ad602159ad360934cefac819b5264)
y tomando logaritmos en ambos miembros resulta
aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
de manera que el límite sería
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3efca5e222a7f052c8087f8027dc4de5abf838e)
La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.
Forma indeterminada | Condiciones | Transformación a 0/0 | Transformación a ထ/ထ |
| | — | |
| | | — |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Véase también
Referencias
- ↑ Kong, Maynard, Cálculo Diferencial, ISBN 9972-42-194-5, pg. 384
Bibliografía
- Stewart, James (1999). Cálculo:Trascendentes tempranas. Thompson Learning. ISBN 970-686-127-0.
- Apostol, Tom (2006). Cálculus. Reverte. ISBN 968-6708-10-3.
Datos: Q115089