Familia asociada
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Helicatenoid.gif)
En geometría diferencial, una familia asociada (o familia de Bonnet) de una superficie mínima es un conjunto de superficies mínimas de un parámetro que comparten el mismo dato de Weierstrass. Es decir, si la superficie tiene la representación
la familia queda descrita por
donde indica la parte real de un número complejo.
Para θ = π/2, la superficie se llama conjugada de la superficie θ = 0.[1]
La transformación puede verse como una rotación local de las direcciones de las curvaturas principales. Las normales a la superficie de un punto con un ζ fijo permanecen sin cambios a medida que cambia θ; el punto mismo se mueve en una elipse.
Algunos ejemplos de familias de superficies asociadas son: la familia de catenoide y helicoide; la familia P de Schwarz, la familia D de Schwarz y el giroide; y la familia de la primera y segunda superficie de Scherk. La superficie de Enneper es conjugado consigo misma: permanece invariante cuando cambia θ.
Las superficies conjugadas tienen la propiedad de que cualquier línea recta en una superficie se asigna a una geodésica plana en su superficie conjugada y viceversa. Si una porción de una superficie está limitada por una línea recta, entonces la porción conjugada está limitada por una línea de simetría plana. Esto es útil para construir superficies mínimas yendo al espacio conjugado: estar limitado por planos equivale a estar limitado por un polígono.[2]
Existen conjuntos equivalentes a las familias asociadas de superficies mínimas en espacios y variedades de dimensiones superiores.[3]
Referencias
- ↑ Matthias Weber, Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples, in Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, June 25–July 27, 2001. American Mathematical Soc., 2005 [1]
- ↑ Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Construction of Triply Periodic Minimal Surfaces", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16 September 1996 vol. 354 no. 1715 2077–2104 [2]
- ↑ J.-H. Eschenburg, The Associated Family, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12 2006 [3]
Datos: Q4809138