Fórmulas de la mitad del lado

En trigonometría esférica, las fórmulas de la mitad del lado relacionan los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo esférico, que son los triángulos formados por tres circunferencias máximas en la superficie de una esfera, y por lo tanto, tienen lados curvos y no obedecen a las fórmulas de los triángulos planos.^[1]​

En una esfera unitaria, las fórmulas del centro del lado son^[2]​

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-A)\\[8pt]\tan \left({\frac {b}{2}}\right)&=R\cos(S-B)\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S-C)\end{aligned}}}$

donde

• a, b, c son las longitudes de los lados respectivamente opuestos a los ángulos A, B, C,
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(A+B+C)}$ es la semisuma de los ángulos, y
• ${\displaystyle R={\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C)}}}.}$

Las tres fórmulas son realmente la misma fórmula, con los nombres de las variables permutados.

Para generalizar a una esfera de radio arbitrario r, las longitudes a, b, c deben reemplazarse por

• ${\displaystyle a\rightarrow a/r}$
• ${\displaystyle b\rightarrow b/r}$
• ${\displaystyle c\rightarrow c/r}$

de modo que a, b, c tienen escalas de longitud, en lugar de escalas angulares.

• Ley esférica de los cosenos
• Fórmula del semiverseno