Extensión de Kan

Las extensiones de Kan son construcciones universales en teoría de categorías, una rama de las matemáticas. Están estrechamente relacionadas con las adjunciones, pero también con los límites y los fines. Reciben su nombre de Daniel M. Kan, que construyó algunas de estas extensiones usando límites en 1960.

Una extensión de Kan se define fijadas tres categorías ${\displaystyle \mathbb {A} ,\mathbb {B} ,\mathbb {C} }$ y dos funtores ${\displaystyle X\colon \mathbb {A} \to \mathbb {C} }$ y ${\displaystyle F\colon \mathbb {A} \to \mathbb {B} }$. Pueden considerarse extensiones de Kan "izquierdas" y extensiones de Kan "derechas".

Formalmente, la extensión de Kan derecha de ${\displaystyle X}$sobre ${\displaystyle F}$consiste en un funtor ${\displaystyle R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} }$ una transformación natural ${\displaystyle \eta \colon RF\to X}$ que es couniversal con respecto a su especificación. Es decir, para cualquier funtor ${\displaystyle M\colon \mathbb {B} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} }$ transformación natural ${\displaystyle \mu \colon MF\to X}$, existe una única transformación natural ${\displaystyle \delta \colon M\to R}$ cumpliendo que ${\displaystyle \eta \circ \delta _{F}=\mu }$.

El funtor ${\displaystyle R}$ suele notarse como ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X}$.

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Homological algebra 19. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 
• Categories for the Working Mathematician 5 (2nd edición). New York, NY: Springer-Verlag. 1998. ISBN 0-387-98403-8.