Espacio cociente (álgebra lineal)

${\displaystyle x{\mathcal {R}}y:=\langle x-y\in F\rangle }$

Propiedad reflexiva:

Dado un elemento ${\displaystyle x\in E}$ se tiene que ${\displaystyle x-x={\vec {0}}\in F.}$

Propiedad de simetría:

Dados dos elementos ${\displaystyle x,y\in E}$ se tiene que si ${\displaystyle x-y=v\in F}$ entonces ${\displaystyle -v\in F}$ es decir ${\displaystyle y-x\in F.}$

Propiedad transitiva:

Dados tres elementos ${\displaystyle x,y,z\in E}$ se tiene que si ${\displaystyle x-y\in F}$ y ${\displaystyle y-z\in F}$ entonces ${\displaystyle F\ni (x-y)+(y-z)=x-z}$ es decir ${\displaystyle x-z\in F.}$

${\displaystyle {\begin{matrix}[u]+[v]&:=&[u+v]\\\;\;\;\;\;\;\;\lambda [u]&:=&[\lambda u]\;\;\;\;\end{matrix}}}$

${\displaystyle F\,}$

${\displaystyle [u]+[v]=(u+F)+(v+F)=u+v+(F+F)}$ ${\displaystyle =u+v+F}$ ${\displaystyle =[u+v]\in E/F.}$

• Propiedad conmutativa:

${\displaystyle [u]+[v]=[u+v]=[v+u]=[v]+[u].}$

• Propiedad asociativa:

${\displaystyle [u]+([v]+[w])=[u]+[v+w]=[u+(v+w)]=[(u+v)+w]=[u+v]+[w]=([u]+[v])+[w].}$

• Existencia del elemento neutro:

${\displaystyle [0]+[v]=[0+v]=[v].}$

• Existencia del elemento opuesto:

${\displaystyle [u]+[-u]=[u-u]=[0].}$

${\displaystyle \lambda [u]=\lambda (u+F)=\lambda u+\lambda F}$ ${\displaystyle =\lambda u+F}$ ${\displaystyle =[\lambda u]\in E/F.}$

• Propiedad asociativa:

${\displaystyle \alpha (\lambda [u])=\alpha [\lambda u]=[\alpha (\lambda u)]=[(\alpha \lambda )u]}$ ${\displaystyle =(\alpha \lambda )[u].}$

• Propiedad del elemento neutro de K:

${\displaystyle 1[u]=[1u]=[u].}$

• Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

${\displaystyle \lambda ([u]+[v])=\lambda [u+v]=[\lambda (u+v)]=[\lambda u+\lambda v]}$ ${\displaystyle =[\lambda u]+[\lambda v]}$ ${\displaystyle =\lambda [u]+\lambda [v].}$

• Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

${\displaystyle (\lambda +\alpha )[u]=[(\lambda +\alpha )u]=[\lambda u+\alpha u]=[\lambda u]+[\alpha u]}$ ${\displaystyle =\lambda [u]+\alpha [u]}$

• ${\displaystyle E/F}$ es de dimensión finita

• ${\displaystyle dimE/F=dimE-dimF}$.

${\displaystyle m=dimF}$

${\displaystyle n=dimE}$

${\displaystyle u_{1},...,u_{m}}$

${\displaystyle F.}$

${\displaystyle E}$

${\displaystyle {u_{1},...,u_{m},u_{m+1},...,u_{n}}}$

${\displaystyle \forall u\in E,\;u=\sum _{i=1}^{n}k_{i}u_{i}}$.

Tomando clases, ${\displaystyle [u]=\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]}$, pues ${\displaystyle [u_{1}]=...=[u_{m}]=[0]}$ (ya que ${\displaystyle u_{1},...,u_{m}\in F}$). Luego, se tiene que ${\displaystyle [u_{m+1}],...,[u_{n}]}$ generan ${\displaystyle E/F.}$

Para ver que son linealmente independientes, supóngase que:

${\displaystyle [0]=\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]=[\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}]}$,

entonces, ${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}}$ pertenece a ${\displaystyle F}$, en consecuencia, existen ${\displaystyle k_{1},...,k_{m}}$ tales que ${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}=\sum _{i=1}^{m}k_{i}u_{i}}$.

Por la independencia lineal de ${\displaystyle u_{1},...,u_{n}}$, se sigue que ${\displaystyle k_{m+1},...,k_{n}=0}$.

Por lo tanto, ${\displaystyle u_{m+1},...,u_{n}}$ son una base de ${\displaystyle E/F}$ y ${\displaystyle dimE/F=n-m=dimE-dimF.}$