Doble producto vectorial de tres vectores a , b y c . Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial ) de tres vectores a la expresión A × ( B × C ) {\displaystyle \,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)} o ( A × B ) × C {\displaystyle \,\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} } ; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.
Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:
A × ( B × C ) = B ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) {\displaystyle \,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)-\mathbf {C} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)}
demostrada más adelante.
Propiedades Regla del cerdito para doble producto vectorial de tres vectores a , b y c . Según la fórmula, A × ( B × C ) {\displaystyle \mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)} es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C . La interpretación geométrica del vector p → = ( u → × a → ) × u → {\displaystyle {\vec {p}}=({\vec {u}}\times {\vec {a}})\times {\vec {u}}} es la proyección ortogonal del vector a → {\displaystyle {\vec {a}}} sobre el plano cuyo vector normal es u → {\displaystyle {\vec {u}}} . El producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo ). El vector
( A × B ) × C = − C × ( A × B ) = ( A ⋅ C ) B − ( B ⋅ C ) A {\displaystyle \,\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} =-\mathbf {C} \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {B} -\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {A} }
está contenido en el plano definido por los vectores A y B , por lo que, en general, será
A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C {\displaystyle \,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)\neq \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} }
con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.
A × ( B × C ) + C × ( A × B ) + B × ( C × A ) = 0 {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=0}
Cuand
Notación de Levi-Civita Con la notación de Levi-Civita , el doble producto vectorial se expresa en la forma
A × ( B × C ) = ε i j k A j ε k ℓ m B ℓ C m = ε i j k ε k ℓ m A j B ℓ C m {\displaystyle \,\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\varepsilon _{ijk}A^{j}\varepsilon _{k\ell m}B^{\ell }C^{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}A^{j}B^{\ell }C^{m}}
Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:
∇ × ( ∇ × f ) = ∇ ( ∇ ⋅ f ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) f = grad ( div f ) − laplaciano f . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&{}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&{}={\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplaciano }}\mathbf {f} .\end{aligned}}} Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham : Δ = dδ + δd .
Demostración Gráfico tridimensional del doble producto vectorial A x (B x C) Sea A × ( B × C ) {\displaystyle \mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)} el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C , cualquiera sea la dirección de A . Entonces, se puede descomponer al vector A × ( B × C ) {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )} en una componente paralela a B y otra paralela a C .
(1 ) A × ( B × C ) = B x + C y x , y ∈ R {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} x+\mathbf {C} y\quad x,y\in \mathbb {R} \quad }
Para facilitar la demostración primero se supondrá B ⊥ C {\displaystyle \mathbf {B} \bot \mathbf {C} } ; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en (1 ):
B ⋅ [ A × ( B × C ) ] = B ⋅ ( B x + C y ) {\displaystyle \mathbf {B} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)} Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B .C = 0 por ser perpendiculares ):
B ⋅ ( B x + C y ) = B ⋅ B x + B ⋅ C y = | B | 2 x {\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)=\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} x+\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} y=\left|\mathbf {B} \right|^{2}x} El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera:
B ⋅ [ A × ( B × C ) ] = A ⋅ [ ( B × C ) × B ] {\displaystyle \mathbf {B} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} ]} Igualando las expresiones anteriores se tiene:
(2 ) A ⋅ [ ( B × C ) × B ] = | B | 2 x {\displaystyle \mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} ]=\left|\mathbf {B} \right|^{2}x\quad }
El producto ( B × C ) × B {\displaystyle (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} } da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura). Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos:
| ( B × C ) × B | = | ( B × C ) | . | B | . sen π 2 = | B | . | C | . sen π 2 . | B | .1 = | B | 2 . | C | {\displaystyle \left|(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} \right|=\left|(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\right|.\left|\mathbf {B} \right|.\operatorname {sen} {\pi \over 2}=\left|\mathbf {B} \right|.\left|\mathbf {C} \right|.\operatorname {sen} {\pi \over 2}.\left|\mathbf {B} \right|.1=\left|\mathbf {B} \right|^{2}.\left|\mathbf {C} \right|} Como ( B × C ) × B {\displaystyle (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} } es de dirección y sentido iguales a C , se puede expresar de la siguiente manera:
( B × C ) × B = | B | 2 C {\displaystyle (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} =\quad \left|\mathbf {B} \right|^{2}\quad \mathbf {C} } Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A , coincide con (2 ).
∴ x = A ⋅ C {\displaystyle \therefore \,x=\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} } Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en (1 ) el producto escalar por el vector C :
C ⋅ [ A × ( B × C ) ] = C ⋅ ( B x + C y ) {\displaystyle \mathbf {C} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)} A ⋅ [ ( B × C ) × C ] = | C | 2 y {\displaystyle \mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {C} ]=\left|\mathbf {C} \right|^{2}y} En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen. Nótese que el vector ( B × C ) × C {\displaystyle (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {C} } es opuesto a B . Esto implica:
− A ⋅ B | C | 2 = | C | 2 y → y = − A ⋅ B {\displaystyle -\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \left|\mathbf {C} \right|^{2}=\left|\mathbf {C} \right|^{2}y\quad \rightarrow \quad y=-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} } Reemplazamos x e y en (1 ) y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C perpendiculares.
(* ) A × ( B × C ) = B ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\quad }
Fórmula general Considerando ahora un vector B , ya no necesariamente perpendicular a C , se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C .
B = B ′ + C k B ′ ⊥ C , k ∈ R {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} '+\mathbf {C} k\quad \mathbf {B} '\bot \mathbf {C} ,k\in \mathbb {R} } Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma (* ):
A × ( B × C ) = A × [ ( B ′ + C k ) × C ] = A × ( B ′ × C + C k × C ) = A × ( B ′ × C ) {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {A} \times [(\mathbf {B} '+\mathbf {C} k)\times \mathbf {C} ]=\mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} +\mathbf {C} k\times \mathbf {C} )=\mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} )} De modo que se puede desarrollar de esta manera:
A × ( B ′ × C ) = B ′ ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ′ ) {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} )=\mathbf {B} '(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ')} Ahora, tenemos B = B ′ + C k ⇒ B ′ = B − C k {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} '+\mathbf {C} k\Rightarrow \mathbf {B} '=\mathbf {B} -\mathbf {C} k} . Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.
B ′ ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ′ ) = ( B − C k ) ( A ⋅ C ) − C [ A ⋅ ( B − C k ) ] = {\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ')=(\mathbf {B} -\mathbf {C} k)(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} [\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} -\mathbf {C} k)]=} = B ( A ⋅ C ) − C k ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B − A ⋅ C k ) = B ( A ⋅ C ) − C k ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) + C ( A ⋅ C k ) = {\displaystyle =\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} k)=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} k)=} = B ( A ⋅ C ) − C k ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) + C k ( A ⋅ C ) {\displaystyle =\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} ){\cancel {-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )}}-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ){\cancel {+\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )}}}
∴ A × ( B × C ) = B ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) {\displaystyle \therefore \ \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )} Esta última identidad coincide con (* ) y vale para cualquiera sean A , B y C .
Véase también
Referencias
Bibliografía Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) . Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7 . Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª . CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3 . Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7 .
Enlaces externos Weisstein, Eric W. «Vector Triple Product». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés) . Wolfram Research. Control de autoridades Proyectos Wikimedia Datos: Q5812140
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