Descomposición de Jordan-Chevalley

${\displaystyle x_{s},x_{n}}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{s}'+x_{n}'}$ es otra descomposición tal que ${\displaystyle x_{s}'}$ y ${\displaystyle x_{n}'}$ conmutan, entonces ${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=x_{n}-x_{n}'}$, y tanto ${\displaystyle x_{s}'}$como ${\displaystyle x_{n}'}$conmutan con ${\displaystyle x}$, luego también con ${\displaystyle x_{s}}$ y con ${\displaystyle x_{n}}$. La suma de dos endomorfismos nilpotentes que conmutan es nilpotente, y sobre un cuerpo perfecto la suma de dos endomorfismos semisimples que conmutan vuelve a ser semisimple. Dado que el único operador que es a la vez semisimple y nilpotente es el operador cero, se sigue que ${\displaystyle x_{s}=x_{s}'}$ y ${\displaystyle x_{n}=x_{n}'}$.

${\displaystyle V}$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo perfecto ${\displaystyle k}$ y sea ${\displaystyle x:V\to V}$ un endomorfismo.

• Supongamos primero que el cuerpo base ${\displaystyle k}$ es algebraicamente cerrado. En ese caso, el espacio vectorial ${\displaystyle V}$ se descompone en la suma directa ${\textstyle V=\bigoplus _{i=1}^{r}V_{i}}$ donde cada ${\displaystyle V_{i}}$ es el núcleo de ${\displaystyle (x-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$, es decir, el espacio propio generalizado, y x estabiliza ${\displaystyle V_{i}}$, ó sea, ${\displaystyle x\cdot V_{i}\subset V_{i}}$ para cada ${\displaystyle i}$. Ahora, se define ${\displaystyle x_{s}:V\to V}$ de manera que, en cada ${\displaystyle V_{i}}$, sea el producto por el escalar ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Se representa por una matriz diagonal en una base que respete la descomposición en suma directa^{[nota 2]}​; por lo tanto, es un endomorfismo semisimple. Puesto que ${\displaystyle x-x_{s}:V_{i}\to V_{i}}$ es entonces ${\displaystyle x-\lambda _{i}I:V_{i}\to V_{i}}$ cuya ${\displaystyle m_{i}}$-ésima potencia es cero, también tenemos que ${\displaystyle x_{n}:=x-x_{s}}$ es nilpotente, demostrando la existencia.

El hecho de que ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ son polinomios en ${\displaystyle x}$ se deriva del teorema chino del resto. Llamemos ${\displaystyle f(t)=\operatorname {det} (tI-x)}$ al polinomio característico de x. ${\displaystyle f}$ coincide con el producto de los polinomios característicos de las restricciones ${\displaystyle x:V_{i}\to V_{i}}$ ; es decir, ${\textstyle f(t)=\prod _{i=1}^{r}(t-\lambda _{i})^{d_{i}},d_{i}=\dim V_{i}.}$ Además, ${\displaystyle d_{i}\geq m_{i}}$ (porque, en general, una matriz nilpotente muere cuando se eleva al tamaño de la matriz). Aplicando el teorema chino del resto al anillo de polinomios ${\displaystyle k[t]}$ obtenemos un polinomio ${\displaystyle p(t)}$ que satisface las condiciones: ${\displaystyle p(t)\equiv 0{\bmod {t}},\,p(t)\equiv \lambda _{i}{\bmod {(}}t-\lambda _{i})^{d_{i}}}$ (para todo i).^{[nota 3]}​ La condición ${\displaystyle p(t)\equiv \lambda _{i}{\bmod {(}}t-\lambda _{i})^{d_{i}}}$ significa que ${\displaystyle p(t)-\lambda _{i}=g_{i}(t)(t-\lambda _{i})^{d_{i}}}$ para algún polinomio ${\displaystyle g_{i}(t)}$ . Ya que ${\displaystyle (x-\lambda _{i}I)^{d_{i}}}$ es el operador nulo en ${\displaystyle V_{i}}$, ${\displaystyle p(x)}$ y ${\displaystyle x_{s}}$ x_s coinciden en cada ${\displaystyle V_{i}}$ ; es decir, ${\displaystyle p(x)=x_{s}}$. Entonces, ${\displaystyle q(x)=x_{n}}$ con ${\displaystyle q(t)=t-p(t)}$. La condición ${\displaystyle p(t)\equiv 0{\bmod {t}}}$ asegura que ${\displaystyle p(t)}$ y ${\displaystyle q(t)}$ no tienen términos constantes. Esto completa la demostración en el caso de un cuerpo algebraicamente cerrado.

• Si k es ahora un cuerpo perfecto arbitrario, llamamos ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {Gal} \left({\overline {k}}/k\right)}$ al grupo absoluto de Galois de k. Por la primera parte, podemos elegir polinomios ${\displaystyle p,q}$ sobre ${\displaystyle {\overline {k}}}$ tales que ${\displaystyle x=p(x)+q(x)}$ es la descomposición en la parte semisimple y nilpotente. Para cada ${\displaystyle \sigma }$ en ${\displaystyle \Gamma }$ , ${\displaystyle x=\sigma (x)=\sigma (p(x))+\sigma (q(x))=p(x)+q(x).}$

Ahora bien, ${\displaystyle \sigma (p(x))=\sigma (p)(x)}$ es un polinomio en x, al igual que ${\displaystyle \sigma (q(x))}$. Por lo tanto, ${\displaystyle \sigma (p(x))}$ y ${\displaystyle \sigma (q(x))}$ conmutan. Asimismo, la aplicación ${\displaystyle \sigma }$ evidentemente conserva la semisimplicidad y la nilpotencia. De este modo, por unicidad de la descomposición (sobre ${\displaystyle {\overline {k}}}$), ${\displaystyle \sigma (p(x))=p(x)}$ y ${\displaystyle \sigma (q(x))=q(x)}$. Por eso ${\displaystyle x_{s}=p(x),x_{n}=q(x)}$ son ${\displaystyle \Gamma }$-invariantes; es decir, son endomorfismos (representados por matrices) sobre k. Finalmente, ya que ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$ contiene una ${\displaystyle {\overline {k}}}$-base que genera el espacio que contiene a ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$, por el mismo argumento, también vemos que ${\displaystyle p,q}$ tienen coeficientes en k . Esto completa la demostración. ${\displaystyle \square }$

Sea ${\displaystyle V}$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo perfecto ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle x}$ un endomorfismo y ${\displaystyle A}$ la subálgebra generada por ${\displaystyle x}$. Obsérvese que ${\displaystyle A}$ es un anillo artiniano conmutativo. El teorema principal de Wedderburn establece:

En nuestro caso, ${\displaystyle A/J}$ es separable ya que el cuerpo base es perfecto (por lo que el teorema es aplicable) y ${\displaystyle J}$ es también el nilradical de ${\displaystyle A}$. Así, tenemos la descomposición en el espacio vectorial ${\displaystyle A=B\oplus J}$. En particular, el endomorfismo ${\displaystyle x}$ se puede escribir como ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ donde ${\displaystyle x_{s}}$ está en B y ${\displaystyle x_{n}}$ en ${\displaystyle J}$. Ahora bien, la imagen de ${\displaystyle x}$ genera ${\displaystyle A/J=B}$; por lo tanto ${\displaystyle x_{s}}$ es semisimple y es un polinomio en x. Por último, ${\displaystyle x_{n}}$ es nilpotente ya que ${\displaystyle J}$ es nilpotente y es un polinomio en ${\displaystyle x}$ ya que ${\displaystyle x_{s}}$ es.

${\displaystyle x}$ es nilpotente (i.e., ${\displaystyle s=0}$) si y solamente si ${\displaystyle \operatorname {tr} (x\varphi (s))=0}$ para cualquier ${\displaystyle \varphi \in E}$. Además, en el caso ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$, basta con que la condición se satisfaga para ${\displaystyle \varphi }$ la conjugación compleja.

Criterio de nilpotencia^[4]​