Criterio de Euler
En teoría de números, concretamente en aritmética modular, el criterio de Euler es utilizado para calcular si un número entero x es un residuo cuadrático módulo un número primo. Su nombre se debe al matemático suizo Leonhard Euler.[1][2][3]
Enunciado
Sea p > 2 un número primo y a un número entero coprimo con p. Entonces a es un residuo cuadrático módulo p si y solo si
Como corolario de este teorema se obtiene que si a no es un residuo cuadrático módulo p entonces
Así, el criterio de Euler puede ser reformulado de manera más compacta usando el símbolo de Legendre:
Demostración
Supóngase que . Se sabe por el pequeño teorema de Fermat que si p es primo y es coprimo con a, es decir, p no divide al número a, entonces . Luego se tiene que
A la inversa, se supone que . Sea b un elemento primitivo módulo p. Entonces para algún i. Luego se tiene que
Como b es de orden p-1, debe darse el caso de que p-1 divide a i(p-1)/2. Por lo tanto, i es par, y las raíces cuadradas de a son .
Referencias
Bibliografía
- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Capítulo 9.2)
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Euler's Criterion». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Elvidge, Sean. «The History of the Law of Quadratic Reciprocity» (PDF) (en inglés). The University of Birmingham. Consultado el 9 de abril de 2011. (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
Datos: Q2346904