Conjunto perfecto
En topología, un conjunto perfecto es un subconjunto cerrado tal que todos sus puntos son puntos de acumulación (es decir, el conjunto carece de puntos aislados).
Caracterización
Sea S un conjunto y S′ el conjunto de sus puntos de acumulación. Nótese que un conjunto S de un espacio topológico es cerrado cuando , es decir, cuando contiene todos sus puntos de acumulación. Dos conjuntos S y T están separados cuando son disjuntos y cuando los conjuntos derivados, formados por sus puntos de acumulación, también son disjuntos. En esas condiciones, el conjunto S es un conjunto perfecto si S = S′. Esto equivale a la definición original, un conjunto es perfecto si es un conjunto cerrado sin puntos aislados.
Propiedades
- Los conjuntos perfectos son importantes en las aplicaciones del teorema de categorías de Baire.
- Un conjunto perfecto de es necesariamente no numerable.
- El conjunto Xº de los puntos de condensación de X es un conjunto perfecto, i.e. cerrado y denso.[1]
Ejemplos
- En , cualquier unión finita de intervalos cerrados de la forma es un conjunto perfecto.
- El conjunto de Cantor es un conjunto perfecto, y por tanto no numerable.
Referencias
- ↑ Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0 pág 116
Bibliografía
- Kechris, A. S. (1995). «Classical Descriptive Set Theory». Berlin, New York (Springer-Verlag). ISBN 978-0-387-94374-9.
Datos: Q7168101