Bornología vectorial

En matemáticas, especialmente en análisis funcional, se denomina bornología vectorial a una bornología ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ (donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ posee una bornología B_{${\displaystyle \mathbb {F} }$}), si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ convierte las operaciones del espacio vectorial en aplicaciones acotadas.

Una bornología en un conjunto ${\displaystyle X}$ es una colección ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de subconjuntos de ${\displaystyle X}$ que satisfacen todas las condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ recubre ${\displaystyle X;}$, es decir, ${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es estable bajo inclusiones; es decir, si ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle A\subseteq B,}$ entonces ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es estable bajo uniones finitas; es decir, si ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ entonces ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

Los elementos de la colección ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ se denominan ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-acotado o simplemente conjuntos acotados si se sobreentiende que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. El par ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ se denomina estructura acotada o conjunto bornológico.

Una base o sistema fundamental de una bornología ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un subconjunto ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ tal que cada elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un subconjunto de algún elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$ Dada una colección ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ de subconjuntos de ${\displaystyle X,}$ la bornología más pequeña que contiene ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ se llama bornología generada por ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$^[1]​

Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ e ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ son conjuntos bornológicos, entonces su bornología del producto sobre ${\displaystyle X\times Y}$ es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma ${\displaystyle B\times C,}$ donde ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$^[1]​ Un subconjunto de ${\displaystyle X\times Y}$ está acotado en la bornología del producto si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ están acotadas.

Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ e ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función ${\displaystyle f:X\to Y}$ es una aplicación localmente acotada o una aplicación acotada (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de ${\displaystyle X}$ a subconjuntos acotados ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de ${\displaystyle Y;}$, es decir, si ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)\subseteq {\mathcal {C}}.}$ (078)^[1]​ Si además ${\displaystyle f}$ es una biyección y ${\displaystyle f^{-1}}$ también está acotada, entonces ${\displaystyle f}$ se denomina isomorfismo bornológico.

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ tiene una bornología ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ Una bornología ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ en ${\displaystyle X}$ se llama bornología vectorial en ${\displaystyle X}$ si es estable ante la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de conjuntos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.).

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una bornología en ${\displaystyle X,}$ entonces lo siguiente es equivalente:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una bornología vectorial.
2. Las sumas finitas y los cascos equilibrados de conjuntos acotados por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ están acotados por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$^[2]​
3. La aplicación multiplicación escalar ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ definida por ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ y la aplicación suma ${\displaystyle X\times X\to X}$ definida por ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ están acotadas cuando sus dominios llevan sus bornologías producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados).^[2]​

Una bornología vectorial ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ se llama bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de la envolvente convexa (es decir, la envolvente convexa de un conjunto acotado está acotada), entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Y una bornología vectorial ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ se llama separada si el único subespacio vectorial acotado de ${\displaystyle X}$ es el espacio trivial de dimensión 0 ${\displaystyle \{0\}.}$

Por lo general, ${\displaystyle \mathbb {K} }$ son números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ sobre ${\displaystyle X}$ se llamará bornología vectorial convexa si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ tiene una base que consta de conjuntos convexos.

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ de los números reales o de los complejos y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una bornología en ${\displaystyle X.}$ Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una bornología vectorial.
2. La suma y la multiplicación escalar son aplicaciones acotadas.^[1]​
3. La envolvente equilibrada de cada elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ y la suma de dos elementos cualesquiera de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es nuevamente un elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$^[1]​

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico, entonces el conjunto de todos los subconjuntos acotados de ${\displaystyle X}$ de una bornología vectorial en ${\displaystyle X}$ llamada 'bornología de von Neumann ${\displaystyle X}$, bornología habitual , o simplemente la bornología de ${\displaystyle X}$ y se la conoce como acotación natural.^[1]​ En cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo ${\displaystyle X,}$ el conjunto de todos los discos acotados cerrados forma una base para la bornología habitual de ${\displaystyle X.}$^[1]​.

A menos que se indique lo contrario, siempre se supone que los números reales o complejos están dotados de la bornología habitual.

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ de los números reales o los complejos y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una bornología vectorial sobre ${\displaystyle X.}$ Sea ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ todos aquellos subconjuntos ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle X}$ que son convexos, equilibrados y bornívoros. Entonces ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ forma una base de entornos en el origen para una topología localmente convexa.

Sea ${\displaystyle \mathbb {K} }$ el conjunto de los números reales o complejos (dotados de sus bornologías habituales), sea ${\displaystyle (T,{\mathcal {B}})}$ una estructura acotada y denótese con ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$ el espacio vectorial de todas las aplicaciones valoradas en ${\displaystyle \mathbb {K} }$ acotadas localmente en ${\displaystyle T.}$ Para cada ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ sea ${\displaystyle p_{B}(f):=\sup \left|f(B)\right|}$ para todos los ${\displaystyle f\in LB(T,\mathbb {K} ),}$ donde esto define una seminorma en ${\displaystyle X.}$ La topología del espacio vectorial topológico localmente convexo en ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$ definido por la familia de seminormas ${\displaystyle \left\{p_{B}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ se denomina topología de convergencia uniforme en un conjunto acotado.^[1]​ Esta topología convierte a ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$ en un espacio métrico completo.^[1]​

Sea ${\displaystyle T}$ un espacio topológico, sean ${\displaystyle \mathbb {K} }$ los números reales o complejos, y sea ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} )}$ el espacio vectorial de todas las aplicaciones continuas con valores ${\displaystyle \mathbb {K} }$ en ${\displaystyle T.}$ El conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} )}$ forma una bornología vectorial en ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} ).}$^[1]​

• Conjunto bornívoro
• Espacio bornológico
• Bornología
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabornológico

• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis. North-Holland Mathematics Studies 26. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087137-0. MR 0500064. OCLC 316549583. 
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). The Convenient Setting of Global Analysis. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. ISBN 978-082180780-4. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.