Bornología vectorial
En matemáticas, especialmente en análisis funcional, se denomina bornología vectorial a una bornología en un espacio vectorial sobre un cuerpo (donde posee una bornología B), si convierte las operaciones del espacio vectorial en aplicaciones acotadas.
Definiciones
Requisitos previos
Una bornología en un conjunto es una colección de subconjuntos de que satisfacen todas las condiciones siguientes:
- recubre , es decir,
- es estable bajo inclusiones; es decir, si y entonces
- es estable bajo uniones finitas; es decir, si entonces
Los elementos de la colección se denominan -acotado o simplemente conjuntos acotados si se sobreentiende que . El par se denomina estructura acotada o conjunto bornológico.
Una base o sistema fundamental de una bornología es un subconjunto de tal que cada elemento de es un subconjunto de algún elemento de Dada una colección de subconjuntos de la bornología más pequeña que contiene se llama bornología generada por [1]
Si e son conjuntos bornológicos, entonces su bornología del producto sobre es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma donde y [1] Un subconjunto de está acotado en la bornología del producto si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre e están acotadas.
Si e son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función es una aplicación localmente acotada o una aplicación acotada (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de , es decir, si (078)[1] Si además es una biyección y también está acotada, entonces se denomina isomorfismo bornológico.
Bornología vectorial
Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo donde tiene una bornología Una bornología en se llama bornología vectorial en si es estable ante la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de conjuntos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.).
Si es un espacio vectorial y es una bornología en entonces lo siguiente es equivalente:
- es una bornología vectorial.
- Las sumas finitas y los cascos equilibrados de conjuntos acotados por están acotados por [2]
- La aplicación multiplicación escalar definida por y la aplicación suma definida por están acotadas cuando sus dominios llevan sus bornologías producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados).[2]
Una bornología vectorial se llama bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de la envolvente convexa (es decir, la envolvente convexa de un conjunto acotado está acotada), entonces Y una bornología vectorial se llama separada si el único subespacio vectorial acotado de es el espacio trivial de dimensión 0
Por lo general, son números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial sobre se llamará bornología vectorial convexa si tiene una base que consta de conjuntos convexos.
Caracterizaciones
Supóngase que es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o de los complejos y es una bornología en Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:
- es una bornología vectorial.
- La suma y la multiplicación escalar son aplicaciones acotadas.[1]
- La envolvente equilibrada de cada elemento de es un elemento de y la suma de dos elementos cualesquiera de es nuevamente un elemento de [1]
Bornología en un espacio vectorial topológico
Si es un espacio vectorial topológico, entonces el conjunto de todos los subconjuntos acotados de de una bornología vectorial en llamada 'bornología de von Neumann , bornología habitual , o simplemente la bornología de y se la conoce como acotación natural.[1] En cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo el conjunto de todos los discos acotados cerrados forma una base para la bornología habitual de [1].
A menos que se indique lo contrario, siempre se supone que los números reales o complejos están dotados de la bornología habitual.
Topología inducida por una bornología vectorial
Supóngase que es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o los complejos y es una bornología vectorial sobre Sea todos aquellos subconjuntos de que son convexos, equilibrados y bornívoros. Entonces forma una base de entornos en el origen para una topología localmente convexa.
Ejemplos
Espacio localmente convexo de funciones acotadas
Sea el conjunto de los números reales o complejos (dotados de sus bornologías habituales), sea una estructura acotada y denótese con el espacio vectorial de todas las aplicaciones valoradas en acotadas localmente en Para cada sea para todos los donde esto define una seminorma en La topología del espacio vectorial topológico localmente convexo en definido por la familia de seminormas se denomina topología de convergencia uniforme en un conjunto acotado.[1] Esta topología convierte a en un espacio métrico completo.[1]
Bornología de la equicontinuidad
Sea un espacio topológico, sean los números reales o complejos, y sea el espacio vectorial de todas las aplicaciones continuas con valores en El conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos de forma una bornología vectorial en [1]
Véase también
- Conjunto bornívoro
- Espacio bornológico
- Bornología
- Espacio de aplicaciones lineales
- Espacio ultrabornológico
Referencias
- ↑ a b c d e f g h i j Narici y Beckenstein, 2011, pp. 156–175.
- ↑ a b Narici y Beckenstein, 2011, pp. 156-175.
Bibliografía
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis. North-Holland Mathematics Studies 26. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087137-0. MR 0500064. OCLC 316549583.
- Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). The Convenient Setting of Global Analysis. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. ISBN 978-082180780-4.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Datos: Q96413662