Arcoseno

Función arcoseno

Gráfica de Función arcoseno
Definición f  tal que  f ( sin ⁡ ( x ) ) = x {\displaystyle \textstyle f{\mbox{ tal que }}f(\sin(x))=x\,}
Tipo Trigonométrica inversa
Dominio [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \textstyle [-1,1]}
Codominio [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
Imagen [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
Propiedades Estrictamente creciente
Biyectiva en su dominio
Cálculo infinitesimal
Derivada 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Función inversa sin ⁡ ( x ) x ∈ [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \textstyle \sin(x)\quad x\in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
Funciones relacionadas arcocoseno
arcotangente
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En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Desde un punto de vista geométrico, el arcoseno de un número x {\displaystyle x} , denotado arcsin ⁡ x {\displaystyle \arcsin x\,} corresponde al arco cuyo seno es x {\displaystyle x} .

La función seno no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Al restringir su dominio en [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} se obtiene una función inyectiva y por tanto con función inversa.

Propiedades

  • Es una función inyectiva, estrictamente creciente.
  • Como arcsen(-x) = -arcsenx, su gráfica es simétrica respecto al origen (0: 0)
  • Su valor mínimo = -0.5π; su valor máximo = 0.5π.
  • El origen de coordenadas es punto de inflexión con un ángulo de inclinación de 45°[1]​
  • Es una función continua en todo su dominio.
  • El cero de la función es 0. La gráfica corta al eje x en (0; 0)
  • Es una función diferenciable, además analítica lo que permite un desarrollo en serie de potencias[2]​

Serie de potencias

El desarrollo en serie de potencias del arcoseno viene dado por:

∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x + 1 6 x 3 + . . . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+...}

Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes. A continuación se da una pequeña demostración de tal desarrollo.

Demostración
Aplicando el desarrollo en serie de Taylor es sencillo demostrar el siguiente desarrollo:
1 1 − t = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 t n {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}t^{n}}

Efectuando el cambio t=s² se obtiene este desarrollo:

1 1 − s 2 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 s 2 n {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}s^{2n}}

Dado que:

arcsin ⁡ ( x ) = ∫ 0 x 1 1 − s 2 d s {\displaystyle \arcsin(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}ds}

Integrando término a término la segunda serie se obtiene el desarrollo en serie del arcoseno:

arcsin ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 {\displaystyle \arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}

Extensión a la recta real y los números complejos

Como función analítica el arcoseno puede extenderse a valores fuera del dominio [-1,1] e incluso complejos. Para valores reales del argumento por encima de +1, la función toma valores complejos:

arcsin ⁡ ( 1 + ε 2 ) = π 2 − i ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 a k ε k , a k > 0 , ε ∈ R {\displaystyle \arcsin(1+\varepsilon ^{2})={\frac {\pi }{2}}-i\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}\varepsilon ^{k},\quad a_{k}>0,\varepsilon \in \mathbb {R} }

Para valores menores que -1, se tiene en cuenta que:

arcsin ⁡ ( − ( 1 + ε 2 ) ) = − arcsin ⁡ ( 1 + ε 2 ) {\displaystyle \arcsin(-(1+\varepsilon ^{2}))=-\arcsin(1+\varepsilon ^{2})}

Eso completa la extensión a los números reales, aunque fuera del intervalo [-1,+1] los valores de la función son complejos.

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, el arcoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa.

Véase también

Referencias y notas

  1. ↑ Bronshtein- Semendiaev: Manual de matemáticas Editorial Mir, Moscú, 2º edición
  2. ↑ Conceptos que figuran en un libro de análisis matemático y aplicable a esta función

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