Anillo booleano

En álgebra abstracta, en particular en teoría de anillos, un anillo booleano es aquel anillo R en donde ${\displaystyle a^{2}=a}$ para todo elemento de R.

Expresado de otra forma, es un anillo en el que todos los términos son idempotentes.

Los anillos booleanos necesariamente son anillos conmutativos. A continuación se presenta una prueba correcta de la conmutatividad.

Todo anillo booleano ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ con elemento unitario 1 satisface los axiomas de un álgebra booleana ${\displaystyle (R,\wedge ,\vee ,\neg )}$ si se define la disyunción como:

${\displaystyle a\vee b:=a+b+ab}$,

la conjunción como:

${\displaystyle a\wedge b:=ab}$

y la negación como:

${\displaystyle \neg a:=a+1}$.

De manera inversa, toda álgebra booleana se puede convertir en un anillo conmutativo definiendo las operaciones de suma y producto como:

${\displaystyle p+q:=(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\vee q)}$

${\displaystyle pq:=p\wedge q}$

• Steven Givant; Paul Halmos (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9780387684369. 

• Álgebra booleana