*-álgebra

En matemáticas, más específicamente en álgebra abstracta, un *-álgebra (o álgebra involutiva) es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos ${\displaystyle R}$ y ${\displaystyle A}$, donde ${\displaystyle R}$ es conmutativo y ${\displaystyle A}$ tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre ${\displaystyle R}$. Las álgebras involutivas generalizan la idea de la conjugación en un sistema numérico, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja, matrices sobre los números complejos y la conjugada traspuesta, y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y el Operador adjunto. Aun así, puede pasar que una álgebra no admite ninguna involución en absoluto.

Un *-anillo es un anillo con una función ${\displaystyle ^{*}:A\rightarrow A}$, el cual es un antiautomorphism y una involución. De una forma más precisa, dados ${\displaystyle x,y\in A}$ se cumplen las condiciones^[1]​

1. Linealidad: ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$.
2. Contravariante: ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$.
3. Idempotencia: ${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$.

Esto también puede ser llamado como anillo involutivo o anillo con involución. Note que si el anillo tiene unidad multiplicativa, digamos ${\displaystyle 1_{A}}$, entonces ${\displaystyle 1_{A}=1_{A}^{*}}$.

Elementos tales que ${\displaystyle x^{*}=x}$ son llamados auto-adjuntos.^[2]​

También, es posible definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos, con el requisito de ser *-invariante, por ejemplo si ${\displaystyle I}$ es un ideal y ${\displaystyle x\in I}$ entonces si ${\displaystyle x^{*}\in I}$ diremos que ${\displaystyle I}$ es un *-ideal.

Una *-álgebra ${\displaystyle A}$ es un *-anillo, con una involución * que es una álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo ${\displaystyle R}$ con involución ${\displaystyle ^{\prime }}$, tal que ${\displaystyle (rx)^{*}=r^{\prime }x^{*}}$ para todo ${\displaystyle r\in R}$ y ${\displaystyle x\in A}$. A menudo el anillo ${\displaystyle R}$ corresponde a los números complejos (con ${\displaystyle ^{\prime }}$ como conjugación compleja).

Sigue de los axiomas que * en ${\displaystyle A}$ es antilineal en ${\displaystyle R}$, es decir,

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}+{\overline {\mu }}y^{*}}$ para todo ${\displaystyle x,y\in A\,\,{\text{ y }}\,\,\lambda ,\mu \in R.}$

Un *-homomorfismo ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$ es un homomorfismo de *-álgeras que es compatible con las involuciones de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ , es decir, ${\displaystyle \varphi (x^{*_{A}})=\varphi (x)^{*_{B}}}$ para todo ${\displaystyle x\in A}$ (donde ${\displaystyle ^{*_{A}}}$ y ${\displaystyle ^{*_{B}}}$ son las involuciones de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ respectivamente).^[2]​

• Cualquier anillo conmutativo es un *-anillo con la involución trivial (${\displaystyle x^{*}=x}$ para todo ${\displaystyle x\in A}$).
• El ejemplo más familiar de un *-anillo y una *-álgebra sobre los reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$, es el cuerpo de los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dónde * es la conjugación compleja.
• Una extensión de cuerpos hecha al adjuntar una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$) es una *-álgebra sobre el cuerpo original, considerado como un *-anillo trivial (involucón trivial). La involución * corresponde al cambio de signo de aquella raíz cuadrada.
• Cuaterniones, números complejos hiperbólicos y números duales. Note que ninguno de estos ejemplos es una álgebra compleja.
• Los cuaterniones de Hurwitz forman un *-anillo conmutativo.
• El álgebra de matrices ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$, donde * corresponde a la transposición.
• El álgebra de matrices ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {C} )}$, donde * corresponde a la traspuesta conjugada.
• En el álgebra de los operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, la operación * corresponde al operador adjunto.

No toda álgebra admite una involución (no trivial). Considerando las matrices 2×2 sobre los números complejos ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )}$,podemos tomar la siguiente subalgebra:

$${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}.}$$

Cualquier antiautomorfismo no trivial ${\displaystyle \varphi _{z}:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ necesariamente tiene la forma:

$${\displaystyle \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$

para cualquier número complejo ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Luego podemos ver que este antiautomorfismo falla en ser idempotente (esto es, ${\displaystyle \varphi _{z}\circ \varphi _{z}=\varphi _{z}}$):

$${\displaystyle \varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

de este modo concluimos que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ no admite involución alguna.

• C*-álgebra
• Álgebra de von Neumann
• Álgebra de operadores
• Conjugación (Álgebra)
• Construcción de Cayley-Dickson

1. ↑ Weisstein, Eric W. (2015). «C-Star Algebra». Wolfram MathWorld. 
2. ↑ ^{a b} Baez, John (2015). «Octonions». Department of Mathematics. University of California, Riverside. Archivado desde el original el 25 de marzo de 2015. Consultado el 27 de enero de 2015.