In der Mathematik ist das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol eine Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols. Die Funktion tritt in der Theorie der Zufallsmatrizen, in der Theorie der multivariablen orthogonalen Polynome und in der multivariaten Statistik auf.
Das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol trägt den Namen von Leo August Pochhammer.
Definition
Sei
eine Partition von
, das heißt, es gilt
und
wobei
.
die Länge der Partition
, das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet
),
ist das Pochhammer-Symbol respektive die steigende Faktorielle
![{\displaystyle (a)_{k}={\frac {\Gamma (a+k)}{\Gamma (a)}}=\prod \limits _{j=1}^{k}(a+j-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0abaf820c7a5e03ab1509a7cb9de3e806866121)
Das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol mit Parameter
zur Partition
ist definiert als
.[1]
Ausgedrückt mit Hilfe der Gamma-Funktion
.[1]
Den Fall
nennt man auch verallgemeinerte hypergeometrische Koeffizienten und ist
![{\displaystyle (a)_{\kappa }^{1}=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\left(a-i+1\right)_{k_{i}}=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\prod \limits _{j=1}^{k_{i}}\left(a-i+j\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99270deb08fa162083d8cf3f08e87575e5706509)
Dieser Fall taucht in der hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument auf.
Literatur
- Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch).
Einzelnachweise
- ↑ a b Ioana Dumitriu, Alan Edelman und Gene Shuman: MOPS: Multivariate orthogonal polynomials (symbolically). In: Journal of Symbolic Computation. Band 42, Nr. 6, 2007, S. 587–620, doi:10.1016/j.jsc.2007.01.005.