Thurston-Bennequin-Invariante

In der Kontaktgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik ist die Thurston-Bennequin-Zahl oder Thurston-Bennequin-Invariante eine Invariante von Legendre-Knoten.

Sei ${\displaystyle (M,\xi )}$ eine Kontaktmannigfaltigkeit und ${\displaystyle L\subset M}$ ein Legendre-Knoten.

Sei ${\displaystyle \nu }$ das Normalenbündel des Legendre-Knotens und ${\displaystyle \xi }$ das durch die Kontaktstruktur gegebene Ebenenfeld. Der Durchschnitt ${\displaystyle l=\nu \cap \xi }$ ist ein Geradenbündel. Durch Verschiebung entlang eines (beliebigen) Vektorfeldes ${\displaystyle v\in l}$ erhält man einen neuen Knoten ${\displaystyle L^{\prime }}$. Die Thurston-Bennequin-Invariante ist definiert als die Verschlingungszahl von ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle L^{\prime }}$:

${\displaystyle \beta (L):=lk(L,L^{\prime }).}$

In der Frontprojektion kann man die Thurston-Bennequin-Invariante berechnen als

${\displaystyle \beta (L)=\sum _{a\in U}sign(a)-{\frac {1}{2}}\sharp C}$,

wobei ${\displaystyle U}$ die Menge der Überkreuzungspunkte und ${\displaystyle C}$ die Menge der Cusp-Singularitäten ist.