Als Störungslemma bezeichnet man in der Numerik einen Satz, der eine Aussage über die Norm der Inversen einer regulären Matrix bei kleinen Störungen macht.
Aussage
Sei
eine reguläre Matrix und
eine Matrix mit
![{\displaystyle \|A^{-1}\|\cdot \|\delta A\|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a00e2dfc4b5ddb36ac665e9b445f531469222d)
in einer submultiplikativen Matrixnorm
. Dann ist auch die Matrix
regulär und es gilt für ihre Inverse:
![{\displaystyle \|(A+\delta A)^{-1}\|\leq {\frac {\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}\|\|\delta A\|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786fc790926a4467caa064195e8e940699b40614)
Beweis
Sei
. Dann gilt
![{\displaystyle \|T\|=\|A^{-1}\cdot \delta A\|\leq \|A^{-1}\|\cdot \|\delta A\|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35491333639ba6aaf34a44bc58b5d86f5ecda55b)
Also konvergiert die Neumann-Reihe
und
ist invertierbar. Da
invertierbar ist, folgt, dass auch
invertierbar ist und
![{\displaystyle \|(A+\delta A)^{-1}\|=\|(I-T)^{-1}A^{-1}\|\leq \|A^{-1}\|\sum _{n=0}^{\infty }\|T^{n}\|\leq {\frac {\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}\|\|\delta A\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd463c79d6b43296ed7d8016222a32cf7486628c)
Verwendung
Dieses Lemma wird verwendet, um die Konditionszahl für das Lösen linearer Gleichungssysteme als
![{\displaystyle \kappa (A)=\|A\|\cdot \|A^{-1}\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea13a50ddde79f2dc56255b6b1455d8eee6a8cc)
herzuleiten.
Literatur
- J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia 1997
- A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988, ISBN 3-326-00194-0