Selberg-Klasse

Die Selberg-Klasse ist ein mathematischer Begriff aus der Zahlentheorie. Der norwegisch-US-amerikanische Mathematiker Atle Selberg führte diese Klasse von Funktionen im Jahr 1989 ein. Sie enthält die für die Zahlentheorie fundamentale Riemannsche Zeta-Funktion und zahlreiche, aber sorgfältig ausgewählte, verwandte Funktionen, sogenannte L-Funktionen. Diese Verwandtschaft kommt folgendermaßen zustande: die Selberg-Klasse besteht aus allen Dirichlet-Reihen, welche grundlegende Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam haben:

1. Absolute Konvergenz
2. Analytische Fortsetzbarkeit
3. Funktionalgleichung
4. Ramanujan-Bedingung
5. Euler-Produkt

Damit enthält die Selberg-Klasse, neben der Riemannschen Zeta-Funktion, auch zum Beispiel die Dirichletschen L-Funktionen zu primitiven Dirichlet-Charakteren, die Dedekindschen L-Funktionen zu algebraischen Zahlkörpern und die Heckeschen L-Funktionen zu primitiven Größencharakteren. Bei Artinschen L-Funktionen hängt die Frage der Mitgliedschaft in der Selberg-Klasse von der Artin-Vermutung ab. Diese konnte bislang nur für einen Teil der Artinschen L-Funktionen bewiesen werden.^[1]

Mit der Selberg-Klasse verbindet sich die Hoffnung, die Eigenschaften und Struktur von Funktionen aufklären zu können, die Mathematiker weithin als geeignete Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion betrachten. Dadurch soll nicht zuletzt ein Weg zum Beweis der Riemannschen Vermutung geebnet werden. Man nimmt sogar an, dass alle Funktionen in der Selberg-Klasse die sogenannte Große Riemannsche Vermutung erfüllen: keine Nullstelle, deren Realteil den Wert 1/2 übersteigt.^[2] Könnte man die Selbergsche Orthonormalitätsvermutung für die Funktionen in der Selberg-Klasse beweisen, so würde daraus die Richtigkeit der Artin-Vermutung folgen.^[3] Bislang weder bewiesen noch widerlegt, sind Fortschritte bei der Erforschung dieser Vermutungen für die Zahlentheorie und die gesamte Mathematik von höchster Bedeutung.

Im Folgenden sind ${\displaystyle \textstyle a_{n}}$ komplexe Zahlen und ${\displaystyle \textstyle n}$ durchläuft die natürlichen Zahlen. Der Buchstabe ${\displaystyle \textstyle s}$ bezeichnet eine komplexe Variable, ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Re} (s)}$ steht für den Realteil von ${\displaystyle \textstyle s}$, ${\displaystyle \textstyle |s|}$ für ihren Absolutbetrag und ${\displaystyle \textstyle {\overline {s}}}$ für die zu ${\displaystyle \textstyle s}$ konjugiert komplexe Zahl. ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ bezeichnet die Gamma-Funktion.

Die Selberg-Klasse ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist definiert als die Menge aller Dirichlet-Reihen

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

welche die folgenden fünf Eigenschaften erfüllen, auch „Axiome“ oder „Annahmen“ genannt:^[4][5][6][7]

1. Absolute Konvergenz

${\displaystyle \textstyle F(s)}$ konvergiert absolut für ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Re} (s)>1}$.^[8][9]

2. Analytische Fortsetzbarkeit

${\displaystyle \textstyle F(s)}$ lässt sich fortsetzen zu einer meromorphen Funktion der komplexen Zahlenebene, und zwar so, dass für eine ganze Zahl ${\displaystyle \textstyle m\geq 0}$ gilt:

${\displaystyle \textstyle (s-1)^{m}F(s)}$

ist eine ganze Funktion endlicher Ordnung.^[10][11] Insbesondere besitzen Funktionen in der Selberg-Klasse höchstens in ${\displaystyle \textstyle s=1}$ eine Polstelle.

3. Funktionalgleichung

${\displaystyle \textstyle F(s)}$ erfüllt eine Funktionalgleichung vom Typ^[12][13]

${\displaystyle \Lambda (s)=\omega \,{\overline {\Lambda (1-{\overline {s}})}}}$.

Hierin ist ${\displaystyle \textstyle \omega \in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \textstyle |\omega |=1}$ und wird Wurzelzahl genannt.

${\displaystyle \textstyle \Lambda (s)}$ ist definiert durch

${\displaystyle \Lambda (s)=\gamma (s)F(s)}$

mit einem sogenannten Gamma-Faktor

${\displaystyle \gamma (s)=Q^{s}\prod _{j=1}^{k}\Gamma (\lambda _{j}s+\mu _{j})}$.^[14][15]

Dabei ist ${\displaystyle \textstyle k\geq 0}$ eine natürliche Zahl, ${\displaystyle \textstyle Q>0}$ und ${\displaystyle \textstyle \lambda _{j}>0}$ sind reelle Zahlen, und ${\displaystyle \textstyle \mu _{j}}$ komplexe Zahlen mit ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Re} (\mu _{j})\geq 0}$.

Wie üblich erhält das leere Produkt den Wert 1, d. h. ${\displaystyle \textstyle \gamma (s)=Q^{s}}$ im Fall ${\displaystyle \textstyle k=0}$.

4. Ramanujan-Bedingung

${\displaystyle \textstyle F(s)}$ erfüllt ${\displaystyle \textstyle a_{1}=1}$ und ${\displaystyle \textstyle a_{n}=O(n^{\varepsilon })}$ für beliebiges, fest gewähltes ${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$.^{[16][17][Anm. 1]}

5. Euler-Produkt
Für ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Re} (s)>1}$ ist^[18]

${\displaystyle \log F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}}$,

wobei ${\displaystyle \textstyle b_{n}=0}$, außer wenn ${\displaystyle \textstyle n}$ eine Primzahlpotenz ist, also ${\displaystyle \textstyle n=p^{r}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle \textstyle p}$ und einer natürlichen Zahl ${\displaystyle \textstyle r\geq 1}$.

Hierbei muss außerdem gelten:

${\displaystyle b_{n}=O(n^{\theta })}$

mit einem ${\displaystyle \textstyle \theta <{\frac {1}{2}}}$.^[19][20]

Die Selberg-Klasse ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {S}}}$ enthält unter anderem die folgenden, für die Zahlentheorie wichtigen Funktionen:^[21]

• Die Riemannsche Zeta-Funktion ${\displaystyle \textstyle \zeta (s)}$. Das ist gewissermaßen der Ausgangs- und Mittelpunkt der Selberg-Klasse.
• Die Dirichletschen L-Funktionen ${\displaystyle \textstyle L(s,\chi )}$ zu primitiven Dirichlet-Charakteren ${\displaystyle \textstyle \chi }$. Die L-Funktionen zu nicht-primitiven Charakteren ${\displaystyle \textstyle \chi }$ liegen nicht in ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {S}}}$, da sie keine Funktionalgleichung der geforderten Form erfüllen.
• Die Dedekindschen L-Funktionen ${\displaystyle \textstyle \zeta (s,K)}$ zu algebraischen Zahlkörpern ${\displaystyle \textstyle K}$.
• Die Heckeschen L-Funktionen ${\displaystyle \textstyle L(s,K,\chi )}$ zu primitiven Größencharakteren ${\displaystyle \textstyle \chi \operatorname {mod} {\mathfrak {f}}}$ mit einem Ideal ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {f}}}$ des Ringes der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers ${\displaystyle \textstyle K}$.
• Die L-Funktionen ${\displaystyle \textstyle L(s,f)}$ zu holomorphen Neuformen ${\displaystyle \textstyle f}$ bzgl. einer Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$. Um zur Selberg-Klasse zu gehören, müssen solche L-Funktionen gegebenenfalls geeignet normalisiert werden.^[22]
• Die Rankin-Selberg-Faltung ${\displaystyle \textstyle L(s,f\times {\overline {g}})=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}n^{-s}}$ zweier beliebiger, normalisierter, holomorpher Neuformen ${\displaystyle \textstyle f}$ und ${\displaystyle \textstyle g}$. Dabei sind ${\displaystyle \textstyle a_{n}}$ und ${\displaystyle \textstyle b_{n}}$ die Fourier-Koeffizienten der Modulformen ${\displaystyle \textstyle f}$ und ${\displaystyle \textstyle g}$.^[23][24]
• Ist ${\displaystyle \textstyle L(s)\in {\mathcal {S}}}$ ganz, also polstellenfrei, so enthält ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {S}}}$ auch die verschobenen L-Funktionen ${\displaystyle \textstyle L(s+i\delta )}$ für jedes reelle ${\displaystyle \textstyle \delta }$.^[25] Da die Riemannsche Zeta-Funktion einen Pol in ${\displaystyle \textstyle s=1}$ besitzt, gehören die Funktionen ${\displaystyle \textstyle \zeta (s+i\delta )}$, ${\displaystyle \textstyle \delta \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \textstyle \delta \neq 0}$, nicht zur Selberg-Klasse: die geforderte, analytische Fortsetzbarkeit erlaubt Polstellen höchstens in ${\displaystyle \textstyle s=1}$.
• Sofern sie die Artin-Vermutung erfüllen: Artinschen L-Funktionen ${\displaystyle \textstyle L(s,K/k,\rho )}$ zu nicht-trivialen, irreduziblen Darstellungen ${\displaystyle \textstyle \rho :\,G(K/k)\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ der Galoisgruppe ${\displaystyle \textstyle G(K/k)}$ normaler Zahlkörpererweiterungen ${\displaystyle \textstyle K/k}$ in die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \textstyle \operatorname {GL} (V)}$ eines endlich-dimensionalen Vektorraums ${\displaystyle \textstyle V}$.^[26]

Die Selberg-Klasse ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {S}}}$ ist multiplikativ abgeschlossen, somit ein multiplikatives Monoid, mit der konstanten Funktion ${\displaystyle \textstyle F=1}$ als neutralem Element in ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {S}}}$.^[27] Aus ${\displaystyle \textstyle F_{1},F_{2}\in {\mathcal {S}}}$ folgt also stets ${\displaystyle \textstyle F_{1}\cdot F_{2}\in {\mathcal {S}}}$.

Eine Funktion ${\displaystyle \textstyle F\in {\mathcal {S}}}$ heißt primitiv, wenn für alle ${\displaystyle \textstyle F_{1},F_{2}\in {\mathcal {S}}}$ mit ${\displaystyle \textstyle F=F_{1}\cdot F_{2}}$ gilt: ${\displaystyle \textstyle F=F_{1}}$ oder ${\displaystyle \textstyle F=F_{2}}$.^[28][29] Jede Funktion in der Selberg-Klasse besitzt eine Faktorisierung in primitive Funktionen der Selberg-Klasse.^[30] Ob diese Faktorisierung stets eindeutig ist (natürlich nur bis auf die Reihenfolge der Faktoren), konnte noch nicht für alle Funktionen in der Selberg-Klasse bewiesen werden.
Die Nullstellen einer Funktion ${\displaystyle \textstyle F\in {\mathcal {S}}}$ unterteilt man in triviale und nicht-triviale Nullstellen. Die trivialen befinden sich definitionsgemäß an den Polstellen der Faktoren ${\displaystyle \textstyle \Gamma (\lambda _{j}s+\mu _{j})}$, die in der Funktionalgleichung von ${\displaystyle \textstyle F}$ erscheinen. Alle übrigen Nullstellen werden nicht-trivial genannt.^[31] Die trivialen Nullstellen besitzen stets einen Realteil ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Re} (s)\leq 0}$.^[32]

Atle Selberg selbst hat die folgenden Vermutungen für die nach ihm benannte Funktionen-Klasse aufgestellt:

• Vermutung 1:^[33]

Für alle (nicht notwendig primitiven) ${\displaystyle \textstyle F\in {\mathcal {S}}}$ existiert ein ${\displaystyle \textstyle n_{F}\in \mathbb {Z} }$ mit

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)}$

• Vermutung 2:^[34]

Für alle primitiven ${\displaystyle \textstyle F\in {\mathcal {S}}}$ ist ${\displaystyle \textstyle n_{F}=1}$, also

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=\log \log x+O(1)}$

• Vermutung 3:^[35]

Für verschiedene, primitive ${\displaystyle \textstyle F,F^{\prime }\in {\mathcal {S}}}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}{\overline {a_{p}^{\prime }}}}{p}}=O(1).}$

• Vermutung 4:^[36]

Besitzt ${\displaystyle \textstyle F\in {\mathcal {S}}}$ die Faktorisierung

${\displaystyle F=\prod _{i=1}^{m}F_{i}}$

in primitive Funktionen ${\displaystyle \textstyle F_{i}\in {\mathcal {S}}}$, ist darüber hinaus ${\displaystyle \textstyle \chi }$ ein primitiver Dirichlet-Charakter, und liegt die Funktion ${\displaystyle \textstyle F^{\chi }}$ definiert durch

${\displaystyle F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}}$

ebenfalls in ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {S}}}$, dann sind auch die entsprechend gebildeten Funktionen ${\displaystyle \textstyle F_{i}^{\chi }}$ primitiv, liefern also die primitive Faktorisierung

${\displaystyle F^{\chi }=\prod _{i=1}^{m}F_{i}^{\chi }.}$

• Vermutung 5:^[37]

Die nicht-trivialen Nullstellen aller Funktionen ${\displaystyle \textstyle F\in {\mathcal {S}}}$ liegen auf der kritischen Geraden ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$.

Vermutung 5 ist die Große Riemannsche Vermutung für die Funktionen in der Selberg-Klasse.^[38] Zusammengenommen werden die Vermutungen 2 und 3 als Selbergsche Orthonormalitätsvermutung bezeichnet (engl. Selberg Orthonormality Conjecture, SOC). Deren Richtigkeit hätte weitreichende Konsequenzen für die Funktionen in der Selberg-Klasse und die Zahlentheorie insgesamt: Zum Beispiel wäre dann die Faktorisierung in primitive Funktionen immer eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren).^[39] Aus der Orthonormalitätsvermutung folgt auch die Dedekindsche Vermutung: für jeden algebraischen Zahlkörper ${\displaystyle \textstyle K}$ teilt die Riemannsche Zeta-Funktion ${\displaystyle \textstyle \zeta (s)}$ die Dedekindsche Zeta-Funktion ${\displaystyle \textstyle \zeta _{K}(s)}$.^[40] Außerdem impliziert die Orthonormalitätsvermutung die Artin-Vermutung: jede Artinsche L-Funktion ${\displaystyle \textstyle L(s,K/k,\rho )}$ zu einer nicht-trivialen, irreduziblen Darstellung ${\displaystyle \textstyle \rho }$ der Galoisgruppe ${\displaystyle \textstyle G(K/k)}$ einer normalen Zahlkörpererweiterung ${\displaystyle \textstyle K/k}$ besitzt eine analytische Fortsetzung auf die ganze, komplexe Zahlenebene.^[41]

• Aleksandar Ivić: The Theory of Hardy's Z-Function (= Cambridge Tracts in Mathematics. Band 196). Cambridge University Press, Cambridge, New York 2012, ISBN 978-1-107-02883-8, insbesondere Kapitel 3.
• Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. In: Alberto Perelli, Carlo Viola (Hrsg.): Analytic Number Theory. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Centraroy, Italy, July 11-18, 2002 (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1891). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, ISBN 978-3-540-36363-7, S. 133–209.
• M. Ram Murty: Problems in Analytic Number Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 206). 2. Auflage. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72349-5, jeweils Kapitel 8 in beiden Teilen des Buches.
• M. Ram Murty, V. Kumar Murty: Non-vanishing of L-Functions and Applications, Modern Birkhäuser Classics, Springer Basel 1997, ISBN 978-3-0348-0274-1, insbesondere Kapitel 7, S. 177–185.
• Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. Vortragsskript, Vilnius Universität, Ph. D. Summer School in Number Theory and Probability, Druskininkai, Litauen, September 2007, Link.
• Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series, Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Salerno: Università di Salerno, 1992, S. 367–385. Auch enthalten in: Collected Papers II / Atle Selberg, Springer Collected Works in Mathematics (SCWM), Springer Berlin, Heidelberg 1991, ISBN 978-3-642-41022-2, S. 47–63.
• Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1877). 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-26526-9, Kapitel 6.

• LMFDB: Selberg class axioms Die Selberg-Klassen-Axiome, wie auf „The L-functions and modular forms database“ (LMFDB) beschrieben.

1. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160–161.
2. ↑ Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Abschnitt 6.1, S. 115.
3. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.5, Theorem 2.5.4, S. 175.
4. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47–48.
5. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 159–160.
6. ↑ Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kapitel 2, S. 5.
7. ↑ Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 6, S. 111.
8. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, (1.1).
9. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 159, (1).
10. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, Text zwischen (1.1) und (1.2).
11. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (2).
12. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, (1.2).
13. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (3).
14. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.3).
15. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (3).
16. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.7).
17. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (4).
18. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.8).
19. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.9).
20. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (5).
21. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160–161.
22. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 1.4.4, S. 150.
23. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 1.4.5, S. 150–153.
24. ↑ Aleksandar Ivić: The Theory of Hardy's Z-Function. 2012, Abschnitt 3.3, S. 53.
25. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 161.
26. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 161.
27. ↑ M. Ram Murty, V. Kumar Murty: Non-vanishing of L-Functions and Applications. 1997, Kapitel 7, S. 178.
28. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 49.
29. ↑ M. Ram Murty, V. Kumar Murty: Non-vanishing of L-Functions and Applications. 1997, Kapitel 7, S. 178.
30. ↑ Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 6, Theorem 6.2, S. 117.
31. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48.
32. ↑ Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Abschnitt 6.1, S. 115.
33. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Formel (1.11), S. 49.
34. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Conjecture 1.1, Formel (1.12), S. 49.
35. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Conjecture 1.2, Formel (1.13), S. 49.
36. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 50, dritter Abschnitt.
37. ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 50, vierter Abschnitt.
38. ↑ Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Abschnitt 6.1, S. 115.
39. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.5, Theorem 2.5.1, S. 174.
40. ↑ Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kapitel 2, S. 9.
41. ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.5, Theorem 2.5.4, S. 175.

1. ↑ Die Ramanujan-Bedingung wird häufig auch Ramanujan-Vermutung (engl. Ramanujan hypothesis) genannt. Es handelt sich aber hier nicht um eine unbewiesene Vermutung über Funktionen in der Selberg-Klasse, sondern um eine Eigenschaft, die Funktionen in der Selberg-Klasse definitionsgemäß erfüllen müssen. Die implizite Konstante im Landau-Symbol ${\displaystyle \textstyle O}$ darf von ${\displaystyle \textstyle \epsilon }$ abhängen.