Das Rinderproblem des Archimedes, auch Problema Bovinum, ist die abgeschwächte Version eines unlösbaren[1] zahlentheoretischen Problems aus der Theorie Diophantischer Gleichungen, das heißt von Polynomgleichungen über den ganzen Zahlen. Das ursprüngliche Problem wird Archimedes zugeschrieben: Die Anzahl der Rinder (Bullen und Kühe, mit je vier Sorten) in einer Herde des Sonnengottes soll bestimmt werden aus einigen Nebenbedingungen.
Geschichte
Das Rinderproblem wurde 1773 von Gotthold Ephraim Lessing in einem griechischen Manuskript der Herzog August Bibliothek in Wolfenbüttel entdeckt (Cod. Guelf. 77 Gud. Graec.), das einen in 44 Distichen abgefassten Brief des Archimedes an Eratosthenes von Kyrene enthielt (also aus Syrakus nach Alexandria).[2]
Πληθὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον φροντίδ' ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης, πόσση ἄρ' ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτ' ἐβόσκετο νήσου Θρινακίης τετραχῇ στίφεα δασσαμένη χροιὴν ἀλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος, κυανέῳ δ' ἕτερον χρώματι λαμπόμενον, ἄλλο γε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον...[3] (Die Menge von Helio's Herde, mein Freund, bemiss ...) – es geht streng übersetzt nicht um Rinder.
Ob der Brief tatsächlich von Archimedes stammt, wird von Lessing und anderen angezweifelt,[4] das Problem selbst ist aufgrund seiner Schwierigkeit jedoch möglicherweise auf Archimedes zurückzuführen.[5] Ein Hinweis darauf ist auch Archimedes’ Interesse an großen Zahlen, wie sie etwa in Der Sandrechner zum Vorschein kommt.
Eine philologische Version des griechischen Textes und eine Übersetzung ins Lateinische findet sich im zweiten Band der von Johan Ludvig Heiberg besorgten Ausgabe der Werke von Archimedes.[6] Eine deutsche Übertragung des Gedichts wurde von Georg Nesselmann angefertigt und veröffentlicht (1842),[7] eine weitere von Bernhard Krumbiegel (1880).
Der von Lessing veröffentlichte Text enthält eine Teillösung, die aber eine Zeile des Urtextes außer Acht lässt und zwei Forderungen aus dem zweiten Teil des Gedichtes nicht erfüllt. Auch die abgeschwächte Version ohne diese Zusatzforderungen blieb wegen der zur Lösung nötigen Berechnung von sehr großen Zahlen bis vor einigen Jahren ungelöst. Ein Lösungsverfahren wurde 1880 von August Amthor gefunden, mit dem die Lösung von etwa 7,76·10206544 Rindern (eine Zahl mit 206.545 Stellen) bestimmt werden konnte. Für die Berechnung der expliziten Dezimaldarstellung brauchten die Computer (IBM 7040 und IBM 1620) von Hugh C. Williams, Gus German und Bob Zarnke 1965 eine Gesamtrechenzeit von 7 Stunden 49 Minuten.[8]
Problem
Das Problem, in einer an Nesselmann und Krumbiegel angelehnten, das Versmaß nicht erhaltenden vereinfachten Fassung:
Zähle, mein Freund, die Rinder unter der Sonne, die einst unter der Sonne Siziliens grasten, die nach ihrer Farbe in vier Herden geteilt werden. Eine ist milchweiß, eine schwarz, eine gefleckt und eine gelb. Die Anzahl der Bullen jeder Farbe ist größer als die der Kühe dieser Farbe (dies wird in der modernen Version fortgelassen),[1] und die Beziehung zwischen ihnen ist wie folgt:
- weiße Bullen
schwarze Bullen + gelbe Bullen, - schwarze Bullen
gefleckte Bullen + gelbe Bullen, - gefleckte Bullen
weiße Bullen + gelbe Bullen, - weiße Kühe
schwarze Herde, - schwarze Kühe
gefleckte Herde, - gefleckte Kühe
gelbe Herde, - gelbe Kühe
weiße Herde.
Falls du, o Freund, mir nicht die Anzahl der Rinder jeder Art, Bullen und Kühe, angeben kannst, kannst du dich noch nicht als hoch qualifiziert betrachten. Bedenke aber noch die folgenden zusätzlichen Beziehungen zwischen den Bullen unter der Sonne:
- Weiße Bullen + schwarze Bullen = eine quadratische Zahl,
- Gefleckte Bullen + gelbe Bullen = eine Dreieckszahl.
Wenn du diese auch noch berechnet hast, o Freund, und du die Gesamtzahl der Rinder gefunden hast, dann juble als ein Eroberer, weil du dir selbst bewiesen hast, dass du ein sehr begabter Rechner bist.[9]
In Gleichungsform formuliert: Gesucht werden die Anzahlen W, X, Y, Z verschieden gefärbter Bullen und w, x, y, z von Kühen in den entsprechenden Farben mit:
![{\displaystyle {\begin{aligned}W&={\tfrac {5}{6}}X+Z\\X&={\tfrac {9}{20}}Y+Z\\Y&={\tfrac {13}{42}}W+Z\\w&={\tfrac {7}{12}}(X+x)\\x&={\tfrac {9}{20}}(Y+y)\\y&={\tfrac {11}{30}}(Z+z)\\z&={\tfrac {13}{42}}(W+w)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc536615d52f1a19ed39e62d50aeda863d7569f)
Die Gesamtzahl der Rinder ist dann
.
In der schwierigeren Form werden zusätzlich die Nebenbedingungen:
![{\displaystyle W+X=\mathrm {Quadratzahl} =m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57af9b0022048c96b24b57d5650d70d7a761580)
![{\displaystyle Y+Z=\mathrm {Dreieckszahl} ={\tfrac {1}{2}}(n+1)n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c018297f0cd56d9b65dce52cc7b09321396024)
verlangt (für ganze Zahlen m, n). Zur Lösungsmethode siehe auch den Artikel über die Pellsche Gleichung.
Detaillierte Lösung des ersten leichteren Teils der Aufgabe
Wenn man die ersten drei Gleichungen geeignet umformt und die Brüche wegbringt, erhält man das folgende Gleichungssystem:
![{\displaystyle {\begin{aligned}6W&-&5X&&&=&6Z\\&&20X&-&9Y&=&20Z\\-13W&&&+&42Y&=&42Z\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65132ea16f8163471aac4b51b95da921be30b8b3)
Drei Gleichungen mit vier Unbekannten
und
haben im Normalfall unendlich viele Lösungen, das Gleichungssystem ist also unterbestimmt. Eine Unbekannte ist frei wählbar. Setzt man in diesem Fall die Unbekannte
als bekannt voraus, so erhält man folgende Lösungen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}W&=&{\tfrac {742}{99\cdot 3}}Z&&=&{\tfrac {2226}{891}}Z\\X&=&{\tfrac {178}{99}}Z&&=&{\tfrac {1602}{891}}Z\\Y&=&{\tfrac {1580}{99\cdot 9}}Z&&=&{\tfrac {1580}{891}}Z\\Z&&&&=&Z\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc3d97b375f546c3b30f1187c39734d9bb98508)
Weil aber
und
ganzzahlig sein müssen (es handelt sich immerhin um eine gewisse Anzahl von Rindern), muss auch
ganzzahlig sein. Somit muss
ein Vielfaches von 891 sein. Sei also
mit ganzzahligem
. Dann erhält man folgende Lösungen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}W&=&{\tfrac {2226}{891}}Z&=&2226s\\X&=&{\tfrac {1602}{891}}Z&=&1602s\\Y&=&{\tfrac {1580}{891}}Z&=&1580s\\Z&=&Z&=&891s\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fcf2d473ea57c09d9998a58a11085b49ed8437f)
Betrachtet man die anderen vier Gleichungen, bringt die Brüche weg und formt sie geeignet um, erhält man folgendes Gleichungssystem:
![{\displaystyle {\begin{aligned}12w&-&7x&&&&&=&7X\\&&20x&-&9y&&&=&9Y\\&&&&30y&-&11z&=&11Z\\-13w&&&&&+&42z&=&13W\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27cc4955b9387197c633ee49a03ae288efc6968)
Setzt man nun die Ergebnisse des ersten Gleichungssystems ein, also
und
, so erhält man folgendes Gleichungssystem:
![{\displaystyle {\begin{aligned}12w&-&7x&&&&&=&11214s\\&&20x&-&9y&&&=&14220s\\&&&&30y&-&11z&=&9801s\\-13w&&&&&+&42z&=&28938s\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09711ba189869948536b1eb20ea93c16aa4bf1d2)
Da ja das
frei wählbar ist, handelt es sich somit um ein eindeutig lösbares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten
und
. Man erhält folgende Lösungen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&=&{\tfrac {93682680}{4657\cdot 13}}s&={\tfrac {7206360}{4657}}s\\x&=&{\tfrac {97864920}{4657\cdot 20}}s&={\tfrac {4893246}{4657}}s\\y&=&{\tfrac {105474600}{4657\cdot 30}}s&={\tfrac {3515820}{4657}}s\\z&&&={\tfrac {5439213}{4657}}s\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846d8dfb53654ec020ce858f70854597aad3183f)
Wieder müssen
und
ganzzahlig sein, weil es sich ja um die Anzahlen von Rindern handelt. Somit muss
ganzzahlig sein. Also muss
ein Vielfaches von 4657 sein. Sei also
mit ganzzahligem
. Dann erhält man die folgenden Lösungen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&=&{\tfrac {7206360}{4657}}s&=7206360k\\x&=&{\tfrac {4893246}{4657}}s&=4893246k\\y&=&{\tfrac {3515820}{4657}}s&=3515820k\\z&=&{\tfrac {5439213}{4657}}s&=5439213k\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4064f8c0f45f597b0cd81a3a3afe3fe40ad812d3)
Damit hat der erste und leichtere Teil des archimedischen Rinderproblems (ohne die beiden zusätzlichen Bedingungen) die folgende Lösung (es kann
beliebig ganzzahlig gewählt werden):
Die Anzahl der weißen Bullen ist
.
Die Anzahl der schwarzen Bullen ist
.
Die Anzahl der gefleckten Bullen ist
.
Die Anzahl der gelben Bullen ist
.
Die Anzahl der weißen Kühe ist
.
Die Anzahl der schwarzen Kühe ist
.
Die Anzahl der gefleckten Kühe ist
.
Die Anzahl der gelben Kühe ist
.
Die Gesamtzahl der Rinder beträgt also
.
Detaillierte kleinste Lösung des zweiten schwierigeren Teils der Aufgabe
Nun zur Lösung des schwierigeren zweiten Teils des Problems:
Setzt man in
für
und für
ein, so erhält man
![{\displaystyle 10366482k+7460514k=17826996k=m^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c56ac7ddd17c9d3f6b26e16765119f74f27444)
Mit der Primfaktorzerlegung von
erhält man die Gleichung
![{\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 11\cdot 29\cdot 4657\cdot k=m^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d005fc9430ba7a36616f8ea5f5b02b6fc77b825f)
Damit der linke Teil ein vollständiges Quadrat ist, muss gelten:
![{\displaystyle k=3\cdot 11\cdot 29\cdot 4657\cdot r^{2}=4456749\cdot r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59edd8e6ab69682ecbdddb67483837eb57a93432)
mit einem ganzzahligen
.
Nun betrachtet man die Gleichung
. Setzt man
, d. h.
, dann kann man das auch schreiben als
![{\displaystyle Y+Z={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {h-1}{2}}\cdot {\tfrac {h+1}{2}}={\tfrac {1}{8}}(h^{2}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41858874bfe8ef0e2169a4bd4ccefe99fca5e9f5)
bzw. als
.
Da
ganzzahlig ist, ist
offensichtlich ungerade.
Setzt man die Zwischenergebnisse
und
ein, so erhält man wegen
für die Summe
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y+Z&=7\cdot 353\cdot 4657\cdot k\\&=3\cdot 7\cdot 11\cdot 29\cdot 353\cdot 4657^{2}\cdot r^{2}\\&=2364747\cdot 4657^{2}\cdot r^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab2bbe0be8c009455cc9dd4c6aa195c2956b4a8)
und daraus als Beziehung zwischen
und
die Gleichung
.
Weil
ist, ergibt sich die folgende Pellsche Gleichung:
![{\displaystyle h^{2}-410286423278424\cdot r^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb933051a807498abc47674630b639c66447e0ed)
Berücksichtigt man die Faktorzerlegung
so erhält man die etwas einfacher zu lösende Pellsche Gleichung:
![{\displaystyle h^{2}-4729494\cdot (2\cdot 4657r)^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05400d8ff2ad30449aae679bc4e767bcb0e0a69b)
Diese Pellsche Gleichung hat, weil 4729494 keine Quadratzahl ist, unendlich viele Lösungen.
Man löst sie mit der Kettenbruchentwicklung von
, die mit einer Periodenlänge von 92 und somit mit einer Gesamtlänge von 93 wie folgt lautet:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {4729494}}=[2174;{\overline {1,2,1,5,2,25,3,1,1,1,1,1,1,15,1,2,16,1,2,1,1,8,6,1,21,1,1,3,1,1,1,2,2,6,1,1,5,1,17,1,1,47,3,}}\\{\overline {1,1,6,1,1,3,47,1,1,17,1,5,1,1,6,2,2,1,1,1,3,1,1,21,1,6,8,1,1,2,1,16,2,1,15,1,1,1,1,1,1,3,25,2,5,1,2,1,4348}}]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40303219d90e54740743985326aaf24182dc44d3)
Die obige Pellsche Gleichung
hat die folgende kleinste (Minimal-)Lösung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{0}=&109931986732829734979866232821433543901088049&\approx 1{,}099\cdot 10^{44}\\g_{0}:=2\cdot 4657r_{0}=&50549485234315033074477819735540408986340&\approx 5{,}055\cdot 10^{40}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4bcfa80dbb844884ad7a09108a74f39bed3434)
Somit ist aber
nicht ganzzahlig und deswegen ist die obige Minimallösung der Pellschen Gleichung noch immer nicht die gesuchte Lösung des Rinderproblems.
Es muss das gesuchte
ein Teiler von einem gewissen (kleinstmöglichen)
sein, das die Zahl
als Teiler hat.
Wenn man die Minimallösung
der obigen Pellschen Gleichung hat, muss man nur noch die folgenden beiden Iterationsformeln anwenden, mit denen man alle weiteren (unendlich vielen) Lösungen der Pellschen Gleichung erhält (siehe Pellsche Gleichung#Generieren weiterer Lösungen):
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{i+1}&=&h_{0}\cdot h_{i}+4729494\cdot g_{0}\cdot g_{i}\\g_{i+1}&=&g_{0}\cdot h_{i}+h_{0}\cdot g_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d228c43999ee958b932860ba74c81249073083)
mit obigem
und
.
Der erste Iterationsschritt ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=&h_{0}\cdot h_{0}+4729494\cdot g_{0}\cdot g_{0}\\g_{1}&=&g_{0}\cdot h_{0}+h_{0}\cdot g_{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a080573e43b8f9df8ddaaffdc2807ede11a090)
Leider hat auch dieses
nicht die Zahl
als Teiler.
Auch mit dem nächsten, dem zweiten Iterationsschritt
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{2}&=&h_{0}\cdot h_{1}+4729494\cdot g_{0}\cdot g_{1}\\g_{2}&=&g_{0}\cdot h_{1}+h_{0}\cdot g_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af00e8d833ef6e4e043f07d1d4ef06c6ca1c1feb)
erhält man ein
, das die Zahl
nicht als Teiler hat.
Erst nach unglaublichen 2329 Iterationsschritten erhält man die folgende gesuchte kleinste Lösung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h:=h_{2329}&\approx &3{,}765344502347206\cdot 10^{103272}\\g:=g_{2329}&\approx &1{,}731399858951771\cdot 10^{103269}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbcb179854af8c60cd6ec2303fb2e658c2feefd)
Und somit erhält man
. Damit kann man auch
errechnen und oben bei
und
einsetzen.
Die schwierigere Form des archimedischen Rinderproblems (also inklusive der beiden zusätzlichen Bedingungen) hat somit die folgende kleinste Lösung:
![{\displaystyle k\approx 1{,}54007001089776119944598967554\cdot 10^{206537}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c5f390236db917ebf56690aecec01e28d012ea)
Die Anzahl der weißen Bullen ist
.
Die Anzahl der schwarzen Bullen ist
.
Die Anzahl der gefleckten Bullen ist
.
Die Anzahl der gelben Bullen ist
.
Die Anzahl der weißen Kühe ist
.
Die Anzahl der schwarzen Kühe ist
.
Die Anzahl der gefleckten Kühe ist
.
Die Anzahl der gelben Kühe ist
.
Die Gesamtzahl der Rinder beträgt also
.
Die exakten Ergebnisse für die Anzahl der einzelnen Bullen und Kühe und für die Gesamtzahl der Rinder, also alle 206544 bzw. 206545 Stellen, kann man auf einer Internetseite[10] nachlesen.
Die weißen Bullen, von denen es
Stück gibt, und die schwarzen Bullen, von denen es
Stück gibt, kann man quadratisch so anordnen, dass auf jeder Seite des Quadrats
Bullen stehen.
Die gefleckten Bullen, von denen es
Stück gibt, und die gelben Bullen, von denen es
Stück gibt, kann man dreieckig so anordnen, dass auf jeder Seite des Dreiecks
Bullen stehen.
Alle Lösungen des zweiten schwierigeren Teils der Aufgabe
Die weiter oben stehende Pellsche Gleichung
, die umgeformt wurde zur Pellschen Gleichung
, hat natürlich dieselbe oben schon erhaltene ganzzahlige Minimallösung
.
Diese Pellsche Gleichung
hat unendlich viele Lösungen. Jede dieser Lösungen ist auch gleichzeitig Lösung des Rinderproblems. Somit hat auch das Rinderproblem unendlich viele Lösungen.
Wenn man die Minimallösung
der obigen Pellschen Gleichung kennt, muss man wieder die folgenden beiden Iterationsformeln anwenden, mit denen man alle weiteren (unendlich vielen) Lösungen der Pellschen Gleichung erhält:
Der erste Iterationsschritt ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=&h_{0}\cdot h_{0}+410286423278424\cdot r_{0}\cdot r_{0}\\r_{1}&=&r_{0}\cdot h_{0}+h_{0}\cdot r_{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de710cb98c64f7c6dfc67d27a82f3fb7f32ca083)
mit
und
.
Tatsächlich ist
und
die zweitkleinste Lösung der Pellschen Gleichung
.
Mit dem nächsten, dem zweiten Iterationsschritt
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{2}&=&h_{0}\cdot h_{1}+410286423278424\cdot r_{0}\cdot r_{1}\\r_{2}&=&r_{0}\cdot h_{1}+h_{0}\cdot r_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba7ebfb090f58ef919109154ae7799369bd312e)
erhält man die drittkleinste Lösung
der Pellschen Gleichung.
Generell gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{i+1}&=&h_{0}\cdot h_{i}+410286423278424\cdot r_{0}\cdot r_{i}\\r_{i+1}&=&r_{0}\cdot h_{i}+h_{0}\cdot r_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12974125029515e16c1211da1b143584d4ede83b)
ergibt alle Lösungspaare
der Pellschen Gleichung
.
Interessant sind aber vor allem die
. Damit kann man nämlich wieder
errechnen und oben bei
und
einsetzen. So erhält man alle weiteren Lösungen des Rinderproblems.
Wenn man alle unendlich vielen Lösungen dieses Rinderproblems wissen will, so bieten sich auch die folgenden Formeln an, die der Mathematiker H. W. Lenstra Jr. auf[11] veröffentlicht hat.
Sei
![{\displaystyle c:=300426607914281713365\cdot {\sqrt {609}}+84129507677858393258\cdot {\sqrt {7766}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b08e680a69105a37e97368cd2107a19f977dca)
und
![{\displaystyle k_{j}:={\frac {(c^{4658\cdot j}-c^{-4658\cdot j})^{2}}{368238304}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca762ebb67750e3bd32f1e47a8571f588ae70596)
mit
Die kleinste Lösung
ist die obige errechnete kleinste Lösung
des Rinderproblems.
Die schwierige Form des archimedischen Rinderproblems (inklusive der beiden zusätzlichen Bedingungen) hat die folgende
-kleinste Lösung (
kann beliebig positiv ganzzahlig gewählt werden):
Die Anzahl der weißen Bullen ist
.
Die Anzahl der schwarzen Bullen ist
.
Die Anzahl der gefleckten Bullen ist
.
Die Anzahl der gelben Bullen ist
.
Die Anzahl der weißen Kühe ist
.
Die Anzahl der schwarzen Kühe ist
.
Die Anzahl der gefleckten Kühe ist
.
Die Anzahl der gelben Kühe ist
.
Die Gesamtzahl der Rinder beträgt also
.
Einzelnachweise
- ↑ a b Peter Schreiber: A Note on the Cattle Problem of Archimedes. (Memento vom 3. Dezember 2013 im Internet Archive). (PDF; 131 kB). In: Historia Mathematica. 20, 1993, S. 304–306.
- ↑ Gotthold Ephraim Lessing: Zur Geschichte und Litteratur. Aus den Schätzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel. Zweiter Beitrag. Braunschweig 1773, S. 421–446.
- ↑ http://users.ntua.gr/dimour/greats/Archimedes/index.html
- ↑ Vgl. u. a. Jacob Struve, Karl Ludwig Struve: Altes Griechisches Epigramm mathematischen Inhalts, mathematisch und kritisch behandelt. Altona 1821.
- ↑ Vgl. z. B. Bernhard Krumbiegel, August Amthor: Das Problema bovinum des Archimedes. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik, Historisch-literarische Abtheilung. 25, 1880, S. 121–136, 153–171.
- ↑ Johan Ludvig Heiberg (Hrsg.): Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii. E codice Florentino recensuit, latine uertit notisque illustrauit. Bd. 2 (PDF; 13,3 MB). Teubner, Leipzig 1881, S. 446–455.
- ↑ Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann: Versuch einer kritischen Geschichte der Algebra. Bd. 1: Die Algebra der Griechen. Reimer, Berlin 1842. ND Minerva, Frankfurt 1969, S. 482 (Protokoll), 483 (Z. 1–30), 486–487 (Z. 31–44).
- ↑ Hugh C. Williams, R. Angus German, C. Robert Zarnke: Solution of the cattle problem of Archimedes. In: Mathematics of Computation. 19, 1965, S. 671–674.
- ↑ Merriman, Mansfield: The Cattle Problem of Archimedes. In: Popular Science Monthly. 67, 1905, S. 660–665.
- ↑ Archimedes in the 21st Century: The Cattle Problem, Computer Output (2nd Part) [1]
- ↑ H. W. Lenstra Jr.: All solutions to the cattle problem of Archimedes. S. 187 (PDF).
Quellen
- G. Nesselmann: Die Algebra der Griechen. Reimer, Berlin 1842 (Nachdruck: Minerva Verlag, Frankfurt am Main 1969, ISBN 3-86598-328-6).
Weblinks
- Seite mit dem griechischen Text, wie ihn Lessing in Wolfenbüttel entdeckt hat.
- Eric W. Weisstein: Archimedes’ Cattle Problem. In: MathWorld (englisch).
- Englische Übersetzung von Ivor Thomas in Loeb Classics
- Numberphile: The Archimedes Number auf YouTube, 24. November 2019, abgerufen am 24. Dezember 2019.