Quaternionische Darstellung

In der Mathematik sind quaternionische Darstellungen ein Konzept der Darstellungstheorie, das unter anderem in der Spingeometrie Anwendung findet.

Eine quaternionische Darstellung ist eine (komplexe) Darstellung ${\displaystyle V}$ einer Gruppe ${\displaystyle G,}$ die einen ${\displaystyle G}$-invarianten Homomorphismus ${\displaystyle J\colon V\to V}$ besitzt, der antilinear ist und ${\displaystyle J^{2}=-{\text{Id}}}$ erfüllt.
Der komplexe Vektorraum hat also eine durch die komplexe Zahl ${\displaystyle i}$ sowie ${\displaystyle j:=J}$ und ${\displaystyle k=ij}$ definierte Struktur eines quaternionischen Vektorraums. Eine quaternionische Darstellung definiert also einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V,\mathbb {H} )}$.

Drehungen des 3-dimensionalen Raumes können durch Quaternionen beschrieben werden. Das definiert eine quaternionische Darstellung

${\displaystyle \rho \colon Spin(3)\to GL(1,\mathbb {H} )}$

der Spingruppe ${\displaystyle Spin(3)}$.

Allgemein sind die Spinor-Darstellungen der Spingruppe ${\displaystyle Spin(d)}$ quaternionische Darstellungen für ${\displaystyle d=8k+3,d=8k+4}$ und ${\displaystyle d=8k+5}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

Eine schiefsymmetrische nicht-ausgeartete ${\displaystyle G}$-invariante Bilinearform definiert eine quaternionische Struktur auf ${\displaystyle V.}$

Umgekehrt gibt es zu jeder quaternionischen Darstellung eine ${\displaystyle G}$-invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform auf ${\displaystyle V}$. Für irreduzible Darstellungen ist diese Bilinearform eindeutig bis auf Skalierung.

Eine irreduzible Darstellung ${\displaystyle V}$ ist genau eine der folgenden:

• komplex: der Charakter${\displaystyle \chi _{V}}$ ist nicht reellwertig und ${\displaystyle V}$ hat keine ${\displaystyle G}$-invariante nicht-ausgeartete Bilinearform
• reell: ${\displaystyle V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,}$ eine reelle Darstellung; ${\displaystyle V}$ hat eine ${\displaystyle G}$-invariante symmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform
• quaternionisch: der Charakter ${\displaystyle \chi _{V}}$ ist reell, aber ${\displaystyle V}$ ist keine reelle Darstellung; ${\displaystyle V}$ hat eine ${\displaystyle G}$-invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform.

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8 ISBN 978-0-387-97527-6
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90190-6

• Ganev: Real and quaternionic representations of finite groups