Plücker-Koordinaten

Plücker-Koordinaten sind Koordinaten für Geraden im 3-dimensionalen Raum. Benannt sind sie nach Julius Plücker. Sie sind ein Spezialfall der allgemeineren Graßmann-Plücker-Koordinaten.

Um eine Gerade ${\displaystyle L}$ im 3-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle P^{3}}$ zu beschreiben, wählen wir zwei auf der Geraden liegende Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ mit homogenen Koordinaten ${\displaystyle \left[x_{0}\colon x_{1}\colon x_{2}\colon x_{3}\right]}$ und ${\displaystyle \left[y_{0}\colon y_{1}\colon y_{2}\colon y_{3}\right]}$ und definieren für alle ${\displaystyle i<j}$

${\displaystyle p_{ij}=\det \left({\begin{array}{cc}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{array}}\right)=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$.

Im ${\displaystyle P^{5}}$ ist der Punkt mit homogenen Koordinaten

${\displaystyle \left[p_{01}\colon p_{02}\colon p_{03}\colon p_{12}\colon p_{13}\colon p_{23}\right]}$

wohldefiniert, unabhängig von der Wahl der homogenen Koordinaten für ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$. Weil die Determinante multilinear und alternierend ist, hängen diese Koordinaten nur von der Gerade ${\displaystyle L}$ und nicht von den auf der Geraden gewählten Punkten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ab.

Die sechs Koordinaten genügen der Plücker-Relation

${\displaystyle p_{01}p_{23}+p_{03}p_{12}=p_{02}p_{13}}$.

Diese Gleichung beschreibt eine kegelige Quadrik im ${\displaystyle P^{5}}$, die als Kleinsche Quadrik bezeichnet wird. Die Geraden im ${\displaystyle P^{3}}$ werden also durch die Punkte der Kleinschen Quadrik parametrisiert.

Mit den Koordinaten ${\displaystyle d=(p_{01},p_{02},p_{03})}$ und ${\displaystyle m=(p_{23},-p_{13},p_{12})}$ kann man die Plücker-Relation auch als ${\displaystyle d\cdot m=0}$ formulieren. Eine typische Anwendung ist die Beschreibung von in einer Ebene liegenden Geraden. Wenn eine Gerade ${\displaystyle L}$ durch die Koordinaten ${\displaystyle (p_{01},\ldots ,p_{23})}$ oder ${\displaystyle (d,m)}$ und eine zweite Gerade ${\displaystyle L^{\prime }}$ durch die Koordinaten ${\displaystyle (p_{01}^{\prime },\ldots ,p_{23}^{\prime })}$ oder ${\displaystyle (d^{\prime },m^{\prime })}$ gegeben ist, dann liegen die Geraden ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle L^{\prime }}$ genau dann in einer Ebene, wenn

${\displaystyle d\cdot m^{\prime }+m\cdot d^{\prime }=0}$

gilt.

Des Weiteren liegt ein Punkt ${\displaystyle p}$ aus dem reellen Koordinatenraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ genau dann auf der Gerade ${\displaystyle L}$, wenn

${\displaystyle p\times d=m}$,

dabei bezeichnet ${\displaystyle \times }$ das Kreuzprodukt.

• A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie Vieweg + Teubner, 2. Auflage, Braunschweig u. a. 2004, ISBN 9783322803290, S. 162–171
• Plücker coordinates. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).