Pisot-Zahl

Eine Pisot-Zahl oder Pisot–Vijayaraghavan-Zahl, benannt nach Charles Pisot (1910–1984) und Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), ist eine ganze algebraische Zahl α > 1 {\displaystyle \alpha >1} , für die gilt, dass ihre Konjugierten α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} , …, α d {\displaystyle \alpha _{d}} ohne α {\displaystyle \alpha } selbst (also die anderen Wurzeln des Minimalpolynoms von α {\displaystyle \alpha } ) sämtlich innerhalb des Einheitskreises liegen: ρ = max { | α 2 | , … , | α d | } < 1 {\displaystyle \rho =\max\{|\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha _{d}|\}<1} . Mit „=“ statt „<“, also max { | α 2 | , … , | α d | } = 1 {\displaystyle \max\{|\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha _{d}|\}=1} , erhält man die Definition einer Salem-Zahl, benannt nach Raphaël Salem. Traditionell wird die Menge der Pisot-Zahlen mit S und die Menge der Salem-Zahlen mit T bezeichnet.

Eigenschaften

Die Potenzen α k {\displaystyle \alpha ^{k}} einer Pisot-Zahl α {\displaystyle \alpha } liegen exponentiell nah an ganzen Zahlen:

min { | α k − z | | z ∈ Z } ≤ ( d − 1 ) ρ k {\displaystyle \min {\bigl \{}|\alpha ^{k}-z|\,{\big |}\,z\in \mathbb {Z} {\bigr \}}\leq (d-1)\rho ^{k}}

Adriano M. Garsia wies 1962 nach, dass die Menge der reellen Zahlen | ε n α n + ε n − 1 α n − 1 + … + ε 1 α + ε 0 | {\displaystyle |\varepsilon _{n}\,\alpha ^{n}+\varepsilon _{n-1}\,\alpha ^{n-1}+\ldots +\varepsilon _{1}\,\alpha +\varepsilon _{0}|} mit n {\displaystyle n} = 0, 1, 2, … und ε 0 , … , ε n ∈ { − 1 , 0 , + 1 } {\displaystyle \varepsilon _{0},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{-1,0,+1\}} diskret ist. Es ist ein ungelöstes Problem, ob diese Eigenschaft auch ein α > 1 {\displaystyle \alpha >1} , das keine Pisot-Zahl ist, haben kann.

Raphaël Salem zeigte 1944 mit fourieranalytischen Methoden, dass die Menge der Pisot-Zahlen eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Beispiele

Jede ganze Zahl größer als 1 ist eine Pisot-Zahl. Weitere Beispiele von Pisot-Zahlen sind die positiven Lösungen β n {\displaystyle \beta _{n}} der algebraischen Gleichungen

x n − x n − 1 − x n − 2 − ⋯ − 1 = 0 , {\displaystyle x^{n}-x^{n-1}-x^{n-2}-\dots -1=0,}

für n {\displaystyle n} = 2, 3, …, eine Folge mit β n → 2 {\displaystyle \beta _{n}\to 2} . Insbesondere ist die Goldene Zahl

Φ = β 2 {\displaystyle \Phi =\beta _{2}} = 1,61803 39887 49894 84820 …[1]

eine Pisot-Zahl. Sie ist zudem der kleinste Häufungspunkt in der Menge der Pisot-Zahlen (Dufresnoy und Pisot 1955). Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen sind

θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} = 1,32471 79572 44746 02596 …,[2]

die reelle Lösung von x 3 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0} , und

θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} = 1,38027 75690 97614 11567 …,[3]

die positive reelle Lösung von x 4 − x 3 − 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-1=0} .

Anwendungen

Anwendungen von Pisot-Zahlen finden sich in der geometrischen Maßtheorie, im Zusammenhang mit Bernoulli-Faltungen, in der Dimensionstheorie und der Graphentheorie bei der Konstruktion von Pisot-Graphen.

Literatur

  • Charles Pisot: La répartition modulo 1 et les nombres algébriques. In: Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze, 7, 1938, S. 205–248 (Dissertation; französisch)
  • T. Vijayaraghavan: On the fractional parts of the powers of a number (englisch)
    • I. In: Journal of the London Mathematical Society, 15, 1940, S. 159–160
    • II. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 37, 1941, S. 349–357
    • III. In: Journal of the London Mathematical Society, 17, 1942, S. 137–138
    • IV. In: Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 33–39
  • Raphaël Salem: A remarkable class of algebraic integers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan. In: Duke Mathematical Journal, 11, 1944, S. 103–107 (englisch)
  • Jacques Dufresnoy, Charles Pisot: Étude de certaines fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d’entiers algébriques. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 72, 1955, S. 69–92 (französisch)
  • Raphaël Salem: Algebraic numbers and Fourier Analysis. Heath, Boston 1963 (englisch)
  • Adriano M. Garsia: Arithmetic properties of Bernoulli convolutions. In: Transactions of the AMS, 102, 1962, S. 409–432 (englisch)
  • Adriano M. Garsia: Entropy and singularity of infinite convolutions. In: Pacific Journal of Mathematics, 13, 1963, S. 1159–1169 (englisch)
  • Yves Meyer: Algebraic numbers and harmonic analysis. North-Holland, Amsterdam 1972 (englisch)
  • Marie-José Bertin, Annette Decomps-Guilloux, Marthe Grandet-Hugot, Martine Pathiaux-Delefosse, Jean-Pierre Schreiber: Pisot and Salem numbers. Birkhäuser, Basel 1992, ISBN 3-7643-2648-4 (englisch)[4]
  • James McKee, Chris Smith: Salem Numbers, Pisot Numbers, Mahler Measure, and Graphs. (PDF; 875 kB) In: Experimental Mathematics, 14, 2005, S. 211–229 (englisch)
  • David Terr: Pisot Number. In: MathWorld (englisch).
  • David Boyd: Pisot number. In: Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001 (englisch)
  • Andrew Potter: Pisot numbers (Memento vom 27. September 2006 im Internet Archive; PDF) – einfache Einführung (englisch)

Einzelnachweise

  1. ↑ Folge A001622 in OEIS
  2. ↑ Folge A060006 in OEIS
  3. ↑ Folge A086106 in OEIS
  4. ↑ siehe auch Michel Mendès-France: Book Review. In: Bulletin of the AMS, 29, 1993, S. 274–278