Pachner-Zug
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Der Pachner-Zug ist ein Begriff aus der kombinatorischen Topologie, also dem Studium von Simplizialkomplexen und triangulierten Mannigfaltigkeiten innerhalb der Mathematik.
Ein Pachner-Zug ersetzt einige Simplizes in einer triangulierten -Mannigfaltigkeit durch andere Simplizes und zwar so, dass die Vereinigung aus den ersetzten und den ersetzenden Simplizes genau den Rand eines -Simplex bildet.
Die Bedeutung der Pachner-Züge ergibt sich daraus, dass je zwei unterschiedliche Triangulierungen einer Mannigfaltigkeit durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. Dies wurde 1991 von Pachner bewiesen.
Definition
Im Folgenden bezeichne den -dimensionalen Standardsimplex und seinen Rand mit der Triangulierung durch Seitenflächen.
Gegeben sei eine -dimensionale triangulierte Mannigfaltigkeit . Ein Pachner-Zug besteht in der Auswahl eines zu einem -dimensionalen Unterkomplex isomorphen Unterkomplexes und dem Bilden der triangulierten Mannigfaltigkeit
- ,
wobei die Verklebeabbildung die Einschränkung des gegebenen simplizialen Isomorphismus ist.
Man erhält mittels dieser Konstruktion wieder dieselbe Mannigfaltigkeit , aber mit einer anderen als der ursprünglichen Triangulierung.
Beispiele
Im Fall -dimensionaler Mannigfaltigkeiten spricht man von -- und --Pachner-Zügen. Ein --Pachner-Zug ersetzt einen -dimensionalen Simplex durch vier andere (oder umgekehrt), ein --Pachner-Zug ersetzt zwei -dimensionale Simplizes durch drei andere (oder umgekehrt).
Satz von Pachner
Satz von Pachner: Wenn zwei triangulierte PL-Mannigfaltigkeiten (beliebiger Dimension) PL-homöomorph sind, dann gibt es eine Folge von Pachner-Zügen, die die eine Triangulierung in die andere überführt.
Insbesondere gilt für Flächen und -dimensionale Mannigfaltigkeiten, dass je zwei Triangulierungen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. (Dies ergibt sich aus der Eindeutigkeit der PL-Struktur für Mannigfaltigkeiten der Dimensionen und .)
Literatur
- Udo Pachner: Homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, European J. Combin. 12 (1991), 129–145.
- W. B. R. Lickorish: Simplicial moves on complexes and manifolds. Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998), 299–320 Geom. Topol. Monogr., 2, Geom. Topol. Publ., Coventry, 1999.