Die Multivariate Gammafunktion ist die Verallgemeinerung der Gammafunktion. Sie findet Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen und der multivariaten Statistik, da sie unter anderem in der Wishart-Verteilung und der matrixvariaten Beta-Verteilung auftaucht. Sie wird als
notiert.[1]
Definition
Sei
der Raum der symmetrischen, positiv definiten reellen
-Matrizen. Die multivariate Gammafunktion ist definiert als die Funktion
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{{\mathcal {S}}_{p}}\exp \left(\operatorname {tr} (-A)\right)\det(A)^{a-{\frac {1}{2}}(p+1)}\mathrm {d} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a4578edbdbbaad4f0738a365de025a719a0c98)
für
; hierin ist bezüglich aller nichtunteren Dreieckseinträge (d. h. oberer Dreieckseinträge samt Hauptdiagonaleinträgen) des Argumentes
zu integrieren, da
.
Eigenschaften
Für Berechnungen eignet sich folgender Satz:
- Sei
, dann gilt
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{{\frac {1}{4}}p(p-1)}\prod \limits _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-{\frac {1}{2}}(i-1)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ee75dd54538b59fc95c47726fa763cc9941362)
Beweis-Idee: Teile
, wobei
eine untere Dreiecksmatrix ist. Nutze den Transformationssatz mit der Funktionaldeterminante
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{p}(a)&=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}(p-1)}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})\\&=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}(p-1)}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma (a+{\tfrac {1}{2}}(p-1))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9953a3847d09d16df584a34113bbd41d8ada40)
Somit:
![{\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e357ec080e62e5edd491f28ae54bd8d80cb0f82f)
![{\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{\tfrac {1}{2}}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5ba831d8a212012a727890789766127411ae56)
![{\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{\tfrac {3}{2}}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})\Gamma (a-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a14f327fe140650e4451fc87d41c8486b9e9c4)
Verallgemeinerungen
Die verallgemeinerte multivariate Gammafunktion ist definiert als
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a_{1},\dots ,a_{p})=\int _{{\mathcal {S}}_{p}}{\frac {\exp \left(\operatorname {tr} (-A)\right)\det(A)^{a_{p}-{\frac {1}{2}}(p+1)}}{\prod \limits _{\alpha =1}^{p-1}\det(A^{[\alpha ]})^{m_{\alpha +1}}}}\mathrm {d} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92474b53b8f1533dd0bee1e6f11740a3ed459d77)
mit
und
.
Ableitungen
Die multivariate Digamma-Funktion:
![{\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+{\tfrac {1}{2}}(1-i))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36a07d3d8bc6ad78315561075da007fd6db8950)
und die Verallgemeinerung als multivariate Polygammafunktion:
![{\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+{\tfrac {1}{2}}(1-i))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aec39881871f8f1c43f7ac41458ae2bce8f6d9b)
Quellen
- ↑ A. K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 18.