Langlands-Dual
In der Mathematik ist das Langlands-Dual einer Gruppe in Zusammenhang mit dem Langlands-Programm, einer Reihe von weitreichenden Vermutungen, die die Zahlentheorie und die Darstellungstheorie von Gruppen miteinander verknüpfen, von Bedeutung.
Definition
Sei eine spaltbare reduktive Gruppe über einem globalen Körper . Das Langlands-Dual ist die spaltbare reduktive Gruppe, deren Gewichte und Wurzeln die Kogewichte und Kowurzeln von sind.
Langlands-Dual halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Finite_Dynkin_diagrams.svg/220px-Finite_Dynkin_diagrams.svg.png)
Sei eine einfache komplexe Lie-Gruppe mit Lie-Algebra . Sei das Langlands-Dual mit Lie-Algebra .
Dann ist das Dynkin-Diagramm von dual zum Dynkin-Diagramm von . (Das Dynkin-Diagramm von ist dual zum Dynkin-Diagramm von und umgekehrt. Alle anderen Dynkin-Diagramme sind zu sich selbst dual.)
Für halbeinfache Lie-Gruppen ist die Lie-Algebra von isomorph zu .
Weiterhin ist das Zentrum von isomorph zur Fundamentalgruppe von und umgekehrt.
Beispiele
- Das Langlands-Dual von ist .
- Das Langlands-Dual von ist und umgekehrt.
- Das Langlands-Dual von ist .
- Für ist .
Motivation
Sei der Adelering zu . Das Ziel des Langlands-Programms ist es, die Darstellung von auf in durch Galois-Darstellungen nach parametrisierte Summanden zu zerlegen.
Literatur
- J. W. Cogdell: Dual groups and Langlands functoriality in An introduction to the Langlands program, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-0-8176-8226-2