Khovanov-Homologie

In der Mathematik ist die Khovanov-Homologie eine Knoteninvariante, die das Jones-Polynom „kategorifiziert“: sie ist eine Homologietheorie, deren gradierte Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ergibt.

Die Khovanov-Homologie soll eine Invariante von orientierten Knoten und Verschlingungen sein. Man ordnet zunächst einem Diagramm einen gradierten Kettenkomplex zu (die „Khovanov-Klammer“) und definiert dann die Khovanov-Homologie als die gradierte Homologie dieses Komplexes.

Die Khovanov-Klammer ${\displaystyle \left[L\right]}$ von Diagrammen ${\displaystyle L}$ wird durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt

• Die Khovanov-Klammer der leeren Menge ist der Komplex ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to 0}$.
• ${\displaystyle \left[\bigcirc \sqcup L\right]=V\otimes \left[L\right]}$.
• Wenn Diagramme dreier Verschlingungen ${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}}$ sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann ist ${\displaystyle \left[L_{0}\right]={\mathcal {F}}(0\to L_{1}\to L_{-1}\left\{1\right\}\to 0)}$.

Dabei ist ${\displaystyle V}$ ein gradierter Vektorraum mit Erzeugern ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle q^{-1}}$ in Graden ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle \left\{1\right\}}$ steht für Gradverschiebung um ${\displaystyle 1}$, und ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ macht aus einem Doppelkomplex einen Komplex durch bilden direkter Summen entlang Diagonalen.

${\displaystyle L_{-1}}$	${\displaystyle L_{0}}$	${\displaystyle L_{1}}$

Die Khovanov-Homologie ${\displaystyle L}$ ist dann definiert als Homologie von ${\displaystyle \left[L\right]\left[-n_{-}\right]\left\{n_{+}-2n_{-}\right\}}$, wobei ${\displaystyle n_{\pm }}$ für die Anzahl der positiven und negativen Überkreuzungen des Diagramms steht, ${\displaystyle \left[.\right]}$ für die Gradverschiebung im Kettenkomplex und ${\displaystyle \left\{.\right\}}$ wieder für die Gradverschiebung im gradierten Vektorraum steht.

Khovanov-Homologie ist eine Invariante von Verschlingungen: unterschiedliche Diagramme einer Verschlingung geben dieselbe Khovanov-Homologie.

Khovanov-Homologie ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Verschlingungen und Linkkobordismen in die Kategorie der Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen über dem Körper ${\displaystyle F_{2}}$.

Khovanov-Homologie einer Verschlingung ${\displaystyle L}$ ist ein ${\displaystyle F_{2}}$-Vektorraum ${\displaystyle Kh(L)}$ mit folgenden Eigenschaften:

• Isotope Verschlingungen haben isomorphe Khovanov-Homologie.
• Für die disjunkte Vereinigung von Verschlingungen gilt ${\displaystyle Kh(L_{1}\sqcup L_{2})=Kh(L_{1})\otimes Kh(L_{2})}$, insbesondere ist die Khovanov-Homologie der leeren Menge isomorph zu ${\displaystyle F_{2}}$..
• Die Khovanov-Homologie des Unknotens ist ${\displaystyle F_{2}\oplus F_{2}}$.
• Wenn Diagramme dreier Verschlingungen ${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}}$ sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann gibt es ein exaktes Dreieck ${\displaystyle Kh(L_{-1})\to Kh(L_{0})\to Kh(L_{1})\to Kh(L_{-1})}$.

${\displaystyle L_{-1}}$	${\displaystyle L_{0}}$	${\displaystyle L_{1}}$

Khovanov-Homologie hat eine Bigradierung

${\displaystyle Kh(L)=\bigoplus _{i,j\in \mathbb {Z} }Kh^{i,j}(L)}$,

so dass

• ein Linkkobordismus ${\displaystyle \Sigma \colon L_{1}\to L_{2}}$ eine Abbildung ${\displaystyle Kh(\Sigma )\colon K(L_{1})\to K(L_{2})}$ vom Bigrad ${\displaystyle (0,\chi (\Sigma ))}$ induziert,
• der Erzeuger von ${\displaystyle Kh(\emptyset )}$ den Bigrad ${\displaystyle (0,0)}$ und die Erzeuger von ${\displaystyle Kh(Unknoten)}$ den Bigrad ${\displaystyle (1,0)}$ und ${\displaystyle (0,1)}$ haben,
• das exakte Dreieck gibt im Fall einer negativen Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \to Kh^{i,j+1}(L_{-1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i-\omega ,j-1-3\omega }(L_{1})\to Kh^{i+1,j+1}(L_{-1})\to \ldots }$

wobei ${\displaystyle \omega }$ die Anzahl der negativen Überkreuzungen von ${\displaystyle L_{1}}$ minus die Anzahl der negativen Überkreuzungen von ${\displaystyle L_{0}}$ ist, und im Fall einer positiven Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \to Kh^{i-1,j-1}(L_{-1})\to Kh^{i-1-c,j-2-3c}(L_{1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i,j-1}(L_{1})\to \ldots }$

wobei ${\displaystyle c}$ die Anzahl der negativen Überkreuzungen von ${\displaystyle L_{1}}$ minus die Anzahl der Überkreuzungen von ${\displaystyle L_{0}}$ ist.

Positive Überkreuzung	Negative Überkreuzung

Für eine orientierte Verschlingung ist die gradierte Euler-Charakteristik

${\displaystyle {\frac {1}{t^{\frac {1}{2}}+t^{-{\frac {1}{2}}}}}\sum _{i,j}(-1)^{i+j+1}t^{\frac {j}{2}}\dim(Kh^{i,j}(L))}$

das Jones-Polynom von ${\displaystyle L}$.

• M. Khovanov: A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal, 101 (3): 359–426, 2000.
• Dror Bar-Natan: On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic & Geometric Topology, 2: 337–370, 2002.

• Khovanov homology (Knot Atlas)