Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:
bzw.
Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen ) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
Inhaltsverzeichnis
1Explizite Darstellung
2Orthogonalität
3Erzeugende
4Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome
5Binomischer Lehrsatz
6Index mit negativem Wert
7Anwendungen
8Siehe auch
9Literatur
10Weblinks
11Einzelnachweise
Explizite Darstellung
Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung
also
Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen :
Da bei jedem Iterationsschritt ein hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass ein Polynom von Grade ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz ist . Für gerade treten ausschließlich gerade Potenzen von auf, entsprechend für ungerade nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität
ausdrücken lässt.
Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution auch wie folgt schreiben:
Orthogonalität
Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion die Orthogonalitätsrelation
Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.
Erzeugende
Eine erzeugende Funktion für die Hermite-Polynome ist
.
Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome
Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome Hen (Statistiker-Konvention)
Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist
Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion orthogonal
und erfüllen die Differentialgleichung
Sie lassen sich rekursiv durch
bestimmen.
Binomischer Lehrsatz
Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für ist
Index mit negativem Wert
Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion ist
.
Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:[1]
,
sodass man für findet:
.
Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:
oder rekursiv mit .
Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.
Sie lauten:
Anwendungen
Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.