Harmonische Teilung

Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte ${\displaystyle A,B,S,T}$ harmonisch, wenn die Strecke ${\displaystyle [AB]}$ durch zwei Punkte ${\displaystyle S,T}$ innen und außen (s. Bild) so geteilt wird, dass für die Teilstrecken die Beziehung

• ${\displaystyle |AS|:|SB|=|AT|:|TB|}$ erfüllt ist.

Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf ${\displaystyle S}$ nie der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle A,B}$ sein.
Liegt ${\displaystyle S}$ rechts von ${\displaystyle M}$, so liegt ${\displaystyle T}$ rechts von ${\displaystyle B}$.
Liegt ${\displaystyle S}$ links von ${\displaystyle M}$, so liegt ${\displaystyle T}$ links von ${\displaystyle A}$.

Die obige Gleichung und die Voraussetzung, dass ${\displaystyle S}$ die Strecke ${\displaystyle [A,B]}$ innen und ${\displaystyle T}$ außen teilen, bedeutet, dass die beiden Teilverhältnisse ${\displaystyle (A,B;S)}$ und ${\displaystyle (A,B;T)}$ den gleichen Betrag haben und das Doppelverhältnis ${\displaystyle (A,B;S,T)}$ gleich −1 ist.

Da die obige Gleichung sich auch so

${\displaystyle |AS|:|AT|=|SB|:|TB|}$

schreiben lässt, teilen auch die Punkte ${\displaystyle A,B}$ die Strecke ${\displaystyle [S,T]}$ harmonisch. Die harmonische Teilung beschreibt also eine symmetrische Relation zwischen Punktepaaren auf einer Gerade.

Sind die Strecke ${\displaystyle [A,B]}$ und der Teilpunkt ${\displaystyle S}$ gegeben, so findet man den vierten harmonische Punkt ${\displaystyle T}$ (genauer: den 4. Punkt, der mit diesen 3 Punkten zusammen eine harmonische Teilung ergibt) mit Hilfe der Strahlensätze gemäß der nebenstehenden Zeichnung:

1. Der Punkt ${\displaystyle C}$ wird beliebig gewählt, die Geraden ${\displaystyle AC}$ und ${\displaystyle BD}$ sind parallel.
2. Der Punkt ${\displaystyle D}$ ergibt sich durch die Verbindung von ${\displaystyle C}$ mit dem gegebenen Teilpunkt ${\displaystyle S}$.
3. ${\displaystyle D}$ wird nach ${\displaystyle D'}$ übertragen. Die Strecken ${\displaystyle |BD|}$ und ${\displaystyle |BD'|}$ sind gleich lang.
4. Der Teilpunkt ${\displaystyle T}$ ergibt sich durch den Schnitt der Geraden ${\displaystyle CD'}$ mit der Geraden ${\displaystyle AB}$.

Ist der Teilpunkt ${\displaystyle T}$ gegeben, verfährt man analog in umgekehrter Reihenfolge.

Ist das Teilverhältnis ${\displaystyle \lambda }$ vorgegeben, muss man den Punkt ${\displaystyle D}$ so wählen, dass ${\displaystyle |AC|:|DB|=\lambda }$ erfüllt ist. ${\displaystyle S}$ ergibt sich dann als Schnittpunkt der Gerade ${\displaystyle CD}$ mit ${\displaystyle AB}$.

Sind ${\displaystyle A,B,C}$ die Punkte eines nicht gleichschenkligen Dreiecks, so schneiden die Innenwinkelhalbierende und Außenwinkelhalbierende im Punkt ${\displaystyle C}$ zwei Punkte ${\displaystyle S,T}$ aus der Geraden ${\displaystyle AB}$ aus, sodass die Punkte ${\displaystyle S,T}$ die Strecke ${\displaystyle [A,B]}$ harmonisch im Verhältnis ${\displaystyle b:a}$ der an ${\displaystyle C}$ anliegenden Dreiecksseiten teilen (s. Bild). Der Beweis benutzt den Satz über den Kreis des Apollonios.^[1] Man beachte, dass ${\displaystyle a\neq b}$ sein muss, s. oben.

Weitere zeichnerische Verfahren zur Bestimmungen des 4. harmonischen Punktes findet man hier.

Rechnerisch ergibt sich die Länge der Strecke ${\displaystyle [AT]}$, wenn ${\displaystyle A,B}$ und der Teilpunkt ${\displaystyle S}$ gegeben sind, aus der Formel:

• ${\displaystyle |AT|={\frac {|AS||AB|}{2|AS|-|AB|}}}$, falls der Nenner ${\displaystyle >0}$ ist (${\displaystyle T}$ liegt rechts von ${\displaystyle B}$)

${\displaystyle |AT|=-{\frac {|AS||AB|}{2|AS|-|AB|}}}$, falls der Nenner ${\displaystyle <0}$ ist (${\displaystyle T}$ liegt links von ${\displaystyle A}$)

Führt man auf der Geraden durch ${\displaystyle A,B}$ Koordinaten ${\displaystyle x}$ so ein, dass ${\displaystyle A=0,B=1,S=s,T=t}$ ist, so ergibt sich die einheitliche Formel

• ${\displaystyle t={\frac {s}{2s-1}}.}$

Beispiele harmonisch liegender Zahlen:

${\displaystyle {\text{1)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {3}{4}}},{\color {blue}1},{\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\ ,\quad {\text{2)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {2}{3}}},{\color {blue}1},{\color {red}2}\ ,\quad {\text{3)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {3}{5}}},{\color {blue}1},{\color {red}3}\ ,\quad {\text{4)}}\ {\color {red}-{\tfrac {1}{2}}},{\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {1}{4}}},{\color {blue}1}}$

Die letzte Gleichung lässt sich so umformen:

• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\right)=1}$

D. h., das harmonische Mittel der beiden Koordinaten ${\displaystyle s,t}$ ist gleich 1.

• Vier Punkte ${\displaystyle A,B,S,T}$ einer affinen oder projektiven Gerade über einem Körper ${\displaystyle K}$ der Charakteristik ${\displaystyle \neq 2}$ liegen harmonisch, falls das Doppelverhältnis ${\displaystyle (A,B;S,T)=-1}$ ist.

Begriffe wie zwischen, innen, außen, Längen, Abstände, die typisch für einen angeordneten Körper mit einer Metrik sind, werden bei dieser Definition nicht benötigt. Die harmonische Lage ist insbesondere also auch für die affine/projektive Gerade über den komplexen Zahlen oder einem endlichen Körper definiert.

Die obige Koordinatisierung (${\displaystyle A=0,B=1,S=s,T=t}$) ist im affinen Fall auch über einem beliebigen Körper möglich, sodass die Beziehung ${\displaystyle t={\tfrac {s}{2s-1}}\ }$ weiterhin gilt.

Schließt man die affine Gerade projektiv durch das Symbol ${\displaystyle \infty }$ ab und rechnet mit ${\displaystyle \infty }$ in „üblicher“ Weise, so gilt auch in diesem Fall die Formel zwischen ${\displaystyle s,t}$ und die vier Punkte ${\displaystyle {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {1}{2}}},{\color {blue}1},{\color {red}\infty }}$ liegen harmonisch, d. h. ${\displaystyle ({\color {blue}0},{\color {blue}1};{\color {red}{\tfrac {1}{2}}},{\color {red}\infty })=-1}$.

Die Bedeutung der harmonischen Lage von vier kollinearen Punkten besteht darin, dass es immer eine involutorische projektive Abbildung der Gerade auf sich gibt, die zwei (der vier Punkte) fest lässt und die beiden anderen vertauscht. In der obigen Darstellung erzeugt die lineare Abbildung, die ${\displaystyle {\vec {u}}}$ fest lässt und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ auf ${\displaystyle -{\vec {v}}}$ abbildet, eine solche Involution. In inhomogenen Koordinaten bewirkt sie: ${\displaystyle \infty \to \infty ,x\to -x}$ (Spiegelung am Nullpunkt). D. h.: ${\displaystyle A,B}$ sind fix und ${\displaystyle S,T}$ werden vertauscht.

Es gilt allgemein:

• Der vierte harmonische Punkt dreier affiner Punkte, wobei einer der Mittelpunkt des restlichen Punktepaares ist, ist immer der Fernpunkt ${\displaystyle \infty }$ (s. Konstruktion des 4. harmonischen Punktes).

Und:

• Die harmonische Lage von vier Punkten einer projektiven Gerade ist das Analogon zum affinen Begriff Mittelpunkt zweier Punkte.

Weitere harmonische Punktepaare:

Für ${\displaystyle A=\langle {\vec {u}}\rangle ,\ B=\langle {\vec {v}}\rangle ,\ S(s)=\langle s{\vec {u}}+{\vec {v}}\rangle ,\ T(s)=\langle s{\vec {u}}-{\vec {v}}\rangle \ ,s\neq 0}$, ist das Doppelverhältnis ${\displaystyle (A,B;S(s),T(s))=-1}$.

Es gilt:

• Aus ${\displaystyle (A,B;S,T)=-1}$ folgt: ${\displaystyle (A,B;T,S)=(B,A;S,T)=(S,T;A,B)=-1}$. D. h., die harmonische Lage hängt nur von den beiden Punktepaaren und nicht von ihrer Anordnung ab.

Sind drei Punkte ${\displaystyle A,B,S}$ auf einer Geraden einer projektiven Ebene gegeben, so lässt sich der vierte harmonische Punkt mit ${\displaystyle (A,B;S,T)=-1}$ folgendermaßen konstruieren:

1. Wähle einen Punkt ${\displaystyle P_{1}}$ nicht auf ${\displaystyle g}$.
2. Zeichne die Geraden ${\displaystyle AP_{1},BP_{1},SP_{1}}$.
3. Wähle einen Punkt ${\displaystyle P_{2}}$ auf der Geraden ${\displaystyle SP_{1}}$.
4. Die Gerade ${\displaystyle BP_{2}}$ schneidet die Gerade ${\displaystyle AP_{1}}$ in einem Punkt ${\displaystyle P_{3}}$. Die Gerade ${\displaystyle AP_{2}}$ schneidet die Gerade ${\displaystyle BP_{1}}$ in einem Punkt ${\displaystyle P_{4}}$.
5. Die Gerade ${\displaystyle P_{3}P_{4}}$ schneidet ${\displaystyle g}$ im vierten harmonischen Punkt ${\displaystyle T}$.

Man beachte: Die Konstruktion findet in einer projektiven Ebene statt, d. h., je zwei Gerade schneiden sich.

Bemerkung:

1. Wählt man als Punkt ${\displaystyle P_{1}}$ einen Fernpunkt und ${\displaystyle A,B,S}$ nicht auf der Ferngeraden, so sind in der Zeichenebene (affiner Teil) die Geraden ${\displaystyle AP_{3},SP_{2},BP_{4}}$ parallel (s. Bild).
2. Will man ${\displaystyle S}$ als vierten harmonischen Punkt zu ${\displaystyle A,B,T}$ konstruieren, so wählt man ${\displaystyle P_{3}}$ frei, ${\displaystyle P_{4}}$ auf der Geraden ${\displaystyle P_{3}T}$ und konstruiert ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$. ${\displaystyle S}$ ist dann der Schnittpunkt der Geraden ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ mit ${\displaystyle g}$.
3. Sind ${\displaystyle A,B,T}$ vorgegeben und ${\displaystyle P_{1},T}$ Fernpunkte, so ergibt sich die im Bild gezeigte affine Konstruktion des Mittelpunktes ${\displaystyle M}$ zweier Punkte ${\displaystyle A,B}$. (${\displaystyle A,B,P_{3},P_{4}}$ bilden ein Parallelogramm!)

Der Beweis der Unabhängigkeit der Konstruktion des vierten harmonischen Punktes von der Wahl der Hilfspunkte ergibt sich in der ersten affinen Variante aus den Strahlensätzen oder einfacher in der zweiten affinen Variante (Konstruktion des Mittelpunktes) daraus, dass 1) sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren und dass 2) bei Parallelprojektion der Mittelpunkt einer Strecke in den Mittelpunkt der Bildstrecke übergeht. Damit ist ${\displaystyle M}$ unabhängig von der Wahl der Punkte ${\displaystyle P_{3},P_{4}}$.

Eine weitere affine Variante der Konstruktion des 4. harmonischen Punktes verwendet einen Kreis (Zirkel) und das Lotefällen (Geodreieck):
Es seien die drei affinen kollinearen Punkte ${\displaystyle A,B,S}$ so gegeben, dass ${\displaystyle S}$ zunächst zwischen ${\displaystyle A,B}$ liegt. Gesucht ist der 4. harmonische Punkt ${\displaystyle T}$ (außen).

1. Zeichne den Kreis ${\displaystyle k}$ durch ${\displaystyle A,B}$, dessen Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ auch Mittelpunkt der Punkte ${\displaystyle A,B}$ ist.
2. Errichte in ${\displaystyle S}$ die Lotgerade ${\displaystyle l}$ und schneide sie mit dem Kreis ${\displaystyle k}$. Ein schnittpunkt sei ${\displaystyle Q}$.
3. Konstruiere die Tangente ${\displaystyle t}$ an den Kreis ${\displaystyle k}$ im Punkt ${\displaystyle Q}$. (${\displaystyle t\perp MQ}$).
4. ${\displaystyle t}$ schneidet g im 4. harmonischen Punkt ${\displaystyle T}$.

Nähert sich ${\displaystyle S}$ einem der Punkte ${\displaystyle A,B}$, so auch ${\displaystyle T}$. Ist ${\displaystyle S=M}$, so ist ${\displaystyle t\parallel g}$ und ${\displaystyle T}$ der Fernpunkt der Gerade ${\displaystyle g}$.

Der Beweis ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ${\displaystyle MSQ,MQT}$. (Man beachte, dass man nur die Gleichung ${\displaystyle |AS||TB|=|SB||AT|}$ beweisen muss. Das Doppelverhältnis ist dann automatisch −1, da ${\displaystyle S}$ innerhalb und ${\displaystyle T}$ außerhalb der Strecke ${\displaystyle [A,B]}$ liegt!) Aus der Ähnlichkeit folgt zunächst die Gleichung:

• ${\displaystyle |MS||MT|=r^{2}}$, wobei r der Radius des Kreises ist.

Diese Gleichung und die Konstruktionsvorschrift (s. Bild) treten auch bei der Spiegelung an einem Kreis auf. (Die Spiegelung am Einheitskreis wird mit komplexen Zahlen durch ${\displaystyle z\to {\tfrac {1}{\overline {z}}}}$ beschrieben.) Bei der Spiegelung am Kreis ${\displaystyle k}$ (s. Bild) werden die Punkte ${\displaystyle S,T}$ vertauscht und ${\displaystyle A,B}$ sind Fixpunkte (Jeder Punkt des Kreises bleibt fest!).

Falls der Punkt ${\displaystyle S}$ nicht zwischen den Punkten ${\displaystyle A,B}$ liegt, konstruiert man mit Hilfe des Thaleskreises den Berührpunkt ${\displaystyle Q}$ der Tangente ${\displaystyle t}$ durch ${\displaystyle S}$ an den Kreis ${\displaystyle k}$. Das Lot ${\displaystyle l}$ von ${\displaystyle Q}$ auf ${\displaystyle g}$ liefert den 4. harmonischen Punkt ${\displaystyle T}$. (Im Bild muss man einfach ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle S}$ vertauschen.)

Die hier beschriebene Methode zur Konstruktion des 4. harmonischen Punktes ist ein affiner Sonderfall der folgenden Aussage:

• Schneidet eine Gerade ${\displaystyle g}$ einen nichtausgearteten projektiven Kegelschnitt ${\displaystyle k}$ in zwei Punkten ${\displaystyle A,B}$ und ist ${\displaystyle S}$ ein von ${\displaystyle A,B}$ verschiedener Punkt der Geraden ${\displaystyle g}$, so ist der zu ${\displaystyle A,B,S}$ gehörige 4. harmonische Punkt ${\displaystyle T}$ der Schnittpunkt der Polaren zu ${\displaystyle S}$ (bzgl. ${\displaystyle k}$) mit ${\displaystyle g}$.

• Kreis des Apollonios

• D. Herrmann: Die antike Mathematik. Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-642-37611-5, S. 369.

1. ↑ Peter Breitfeld: Geometrie. (Memento vom 12. Mai 2013 im Internet Archive) Skript, Störck-Gymnasium, Bad Saulgau 2012