Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante
Die Hafner–Sarnak–McCurley Konstante ist eine mathematische Konstante, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Determinanten von zwei Matrizen zueinander teilerfremd sind.
Definition
Seien zwei quadratische, ganzzahlige -Matrizen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Determinanten zueinander teilerfremd sind, durch die Funktion
beschrieben.[1] Dabei bezeichnet die n-Primzahl.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/D%28n%29_Funktion.png/220px-D%28n%29_Funktion.png)
Insbesondere ist für zwei -Matrizen die Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit:
- . (OEIS A059956)
Weitere Werte
Die genauen Funktionswerte für wurden analytisch nicht ermittelt. Näherungsweise ergeben sich die Werte:
n | D(n) |
---|---|
2 | 0.453103 |
3 | 0.397276 |
4 | 0.373913 |
5 | 0.363321 |
Grenzwert
Für die Funktion wurde durch Vardi (1991) der Grenzwert
- (A085849)
mit einer Approximationsgeschwindigkeit von bewiesen.[2]
Literatur
- Finch, S. R. (2003), „§2.5 Hafner–Sarnak–McCurley Constant“, Mathematical Constants, Cambridge, England: Cambridge University Press, S. 110–112, ISBN 0-521-81805-2
- Hafner, J. L.; Sarnak, P. & McCurley, K. (1993), „Relatively Prime Values of Polynomials“, in Knopp, M. & Seingorn, M. (eds.), A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis, Providence, RI: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-5155-1
- Vardi, I. (1991), Computational Recreations in Mathematica, Redwood City, CA: Addison–Wesley, ISBN 0-201-52989-0