Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Sei ${\displaystyle (A,\leq )}$ eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

${\displaystyle f\colon \,A\to A}$

heißt extensiv, falls gilt:

${\displaystyle a\leq f(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

${\displaystyle f(a)\leq a}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.

1. Auf ${\displaystyle (A,\leq )}$ ist die Identität ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}\colon \,a\mapsto a}$ extensiv und intensiv, da ${\displaystyle a\leq a}$ immer gilt.
2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$ bereits dann einen Fixpunkt, falls ${\displaystyle A}$ streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut u. a., Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8. 
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 120). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8. 
• Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.