Einfach-gleichmäßige Konvergenz

Die einfach-gleichmäßige Konvergenz ist ein Konvergenzbegriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Es handelt sich um eine Abschwächung der gleichmäßigen Konvergenz. Definiert wurde der Begriff unter anderem von Ulisse Dini.^[1]

Sei ${\displaystyle D_{f}\subset \mathbb {R} }$ eine Teilmenge. Eine punktweise konvergente Funktionenfolge ${\displaystyle (f_{n}\colon D_{f}\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}$ heißt gegen ${\displaystyle f}$ einfach-gleichmäßig konvergent, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in D_{f}:\operatorname {Card} (\{n\mid n\geq N,\ \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon \})=\aleph _{0}}$

gilt. Mit ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ist die Mächtigkeit von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ gemeint.

Jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge ist auch einfach-gleichmäßig konvergent.

1. ↑ E. W. Hobson: The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series. 2nd edition, Cambridge, ISBN 978-1418186517, S. 105–106.