Dieser Artikel beschäftigt sich mit einer bestimmten Art algebraischer Strukturen. Für die Dual- oder Binärdarstellung von Zahlen siehe den Artikel Dualsystem.
Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie ist der Ring der dualen Zahlen über einem Körper ein algebraisches Objekt, das eng mit dem Begriff des Tangentialvektors zusammenhängt.
Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.
Definition
Die dualen Zahlen bilden eine zweidimensionale hyperkomplexe Algebra über dem Körper
der reellen Zahlen. Wie die komplexen Zahlen wird diese Algebra von zwei Basiselementen erzeugt, der 1 und einer nicht-reellen Einheit, die zur Unterscheidung von der imaginären Einheit
der komplexen Zahlen hier mit
bezeichnet wird. Jede duale Zahl lässt sich also eindeutig als
![{\displaystyle z=a+b\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3e843b12f3e6f4e6ade0c2ab427217d7c7ab2b)
mit a, b ∈
darstellen, also als Linearkombination aus 1 und
. Die Definition einer allgemeinen Multiplikation für duale Zahlen vervollständigt sich durch eine Definition für das Quadrat der nicht-reellen Einheit, und zwar durch
.
Außerdem ist wie bei den komplexen Zahlen die zu z konjugierte Zahl
![{\displaystyle {\bar {z}}=a-b\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c64161c006b020984d6b04a949929e4b5dface5)
definiert.
Rechenregeln
Addition
Die Addition von dualen Zahlen erfolgt komponentenweise. Für zwei duale Zahlen
und
gilt
![{\displaystyle z+w=(a+c)+(b+d)\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0690d32062db54d93ccc61b6f68c3225b8291f9b)
Multiplikation
Für zwei duale Zahlen
und
folgt durch direktes Ausmultiplizieren
.
Der Term
fällt weg, da
.
Division
Die Division der dualen Zahl
durch die duale Zahl
ist definiert, wenn der Realteil des Nenners
. Analog zu der Division von komplexen Zahlen wird der Bruch mit dem konjugierten Nenner
erweitert, um die nicht reellen Teile gegenseitig aufzuheben.
![{\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {z\cdot {\bar {w}}}{\underbrace {w\cdot {\bar {w}}} _{\text{reell}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e616cd5e918a9e90ed50e95c1503434e6d2dcb7)
Eingesetzt und Ausmultipliziert folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91b60d8110d330b754b35c8a99957f3fa43460b)
Eigenschaften
Wie alle hyperkomplexen Algebren erfüllen auch die dualen Zahlen das rechts- und linksseitige Distributivgesetz. Wie die komplexen Zahlen sind sie zudem kommutativ und assoziativ, und zwar zwangsläufig, da es nur ein von der 1 verschiedenes Basiselement gibt, nämlich
.
![{\displaystyle 1\cdot \varepsilon =\varepsilon \cdot 1=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b77c1d2f8cebe8e3d6f4b54f22beda03f2c42a)
![{\displaystyle 1\cdot (1\cdot \varepsilon )=1\cdot \varepsilon =(1\cdot 1)\cdot \varepsilon =\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c1f768f07a138a3fbead57f99a91b1958b7baf)
![{\displaystyle 1\cdot (\varepsilon \cdot \varepsilon )=1\cdot 0=0=\varepsilon \cdot \varepsilon =(1\cdot \varepsilon )\cdot \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6070250050fe39dfd76e8eb82848f05260888e56)
Die dualen Zahlen bilden also einen kommutativen Ring mit Einselement, der aber – im Unterschied zu
– kein Körper ist, sondern ein Hauptidealring mit einem Ideal, nämlich den reellzahligen Vielfachen von
. Hauptideal ist es, da es von einem einzigen Element
erzeugt werden kann. Wegen
sind sie natürlich Nullteiler.
Matrixdarstellung
Da die Multiplikation der dualen Zahlen assoziativ ist, lässt sie sich mit Matrizen darstellen, und zwar wie folgt:
,
was für
und
gerade die nilpotente Matrix
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2c2adffe3e1a938568783836cd8125f9b407c8)
ergibt.
Duale Zahlen und Laguerre-Ebenen
Die klassische reelle Laguerre-Ebene lässt sich (analog der Beschreibung der klassischen reellen Möbius-Ebene über komplexe Zahlen) mit Hilfe der dualen Zahlen beschreiben (W. Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren).
Algebraische Definition
In der Terminologie der abstrakten Algebra lassen sich die dualen Zahlen als der Quotient des Polynomringes
und des Ideals beschreiben, das durch das Polynom
erzeugt wird, also
.
Duale Zahlen über Ringen
Es sei
ein Ring. Dann ist der Ring der dualen Zahlen über
der Faktorring
![{\displaystyle A[\varepsilon ]=A[X]/(X^{2});}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c011166a61fb4a7f020c69f727880616b8b7c7a)
ist das Bild der Unbestimmten
im Quotienten
Eigenschaften
Es sei
ein Körper.
ist ein lokaler artinscher Ring, der als Vektorraum über
die Dimension 2 hat. Jedes Element hat eine eindeutige Darstellung
mit ![{\displaystyle a,b\in k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a956deea56b5e0150096fd762dd4d4d6d5a55ee)
Das maximale Ideal wird von
erzeugt; der Restklassenkörper ist
.
und
sind als
-Moduln isomorph.
Für jeden Ring
ist
Duale Zahlen und Derivationen
Es seien
ein Ring,
zwei
-Algebren und
ein Homomorphismus von
-Algebren. Dann gibt es eine natürliche Bijektion zwischen
- den
-Algebrenhomomorphismen ![{\displaystyle B\to C[\varepsilon ],\quad b\mapsto f(b)+\varepsilon D(b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b20cccdb1bff7811eb009d6929dd8187474bd0)
- die Hochhebungen von
unter
sind
und
-linearen Derivationen
dabei wird die
-Modulstruktur auf
von
induziert.
Bedeutung für die algebraische Geometrie
Für ein Schema
sei
![{\displaystyle U[\varepsilon ]=U\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [\varepsilon ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9b838f1352e5fdae6cc7415696fd23852a2036)
Es sei
ein Schema und
ein
-Schema. Das Schema
ist das relative Tangentialbündel von
über
. Dann gibt es eine natürliche Bijektion
![{\displaystyle T_{X/S}(U)=X(U[\varepsilon ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100ed79e8b061b3cec869226ce95e25e869379c3)
für beliebige
-Schemata
. Ein
-wertiger Punkt ist also ein
-wertiger Punkt zusammen mit einem Tangentialvektor in diesem Punkt. Man kann sich
für einen Körper
also als Punkt zusammen mit einem Tangentialvektor vorstellen.
Siehe auch
Literatur
- Walter Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren: Geometrien von Möbius, Laguerre-Lie, Minkowski in einheitlicher und grundlagengeometrischer Behandlung. Springer, 1973, ISBN 978-3-642-88670-6, S. 21
- M. Demazure, A. Grothendieck: Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie. Schemas en groupes I, II, III (SGA 3). Lecture Notes in Mathematics 151, 152, 153. Springer-Verlag, Berlin 1970
- I.L. Kantor, A.S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen. B.G. Teubner, Leipzig 1978