In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.
Definition
Sei
ein Ring,
ein Unterring derart, dass
ein freier
-Modul vom Rang
ist. Für
heißt
die Diskriminante von
.
Wenn
eine
-Basis von
darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in
eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von
in
erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit
bezeichnet und heißt Diskriminante von
über
.
Eigenschaften und Anwendung
- Sei
eine separable Körpererweiterung vom Grad
und
die
verschiedenen
-Algebrenmonomorphismen von
in den algebraischen Abschluss von
. Dann gilt für eine
-Basis
von
[1]:
![{\displaystyle D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left((\sigma _{i}(x_{j}))_{i,j}\right)^{2}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837ba4dbb05763a578fc03f63956312ee56b60a2)
- Seien
zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen
. Dann gilt für ein Primideal
das folgende:
ist genau dann verzweigt, wenn
gilt[2]. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von
, vgl. Dedekindring).
Beispiel
Seien
;
bezeichne die Äquivalenzklasse von
in
.
Somit
, was der Diskriminante des Polynoms
entspricht.
Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:
![{\displaystyle \mathrm {Tr} _{B/A}(1)=\mathrm {Tr} _{B/A}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db849457516924a657c2e3c5aa5b763989a21f83)
![{\displaystyle \mathrm {Tr} _{B/A}(x)=\mathrm {Tr} _{B/A}{\begin{pmatrix}0&-c\\1&-b\end{pmatrix}}=-b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e916d09c053a8318eb2d7d972d5472b64f5681)
![{\displaystyle \mathrm {Tr} _{B/A}(x^{2})=\mathrm {Tr} _{B/A}(-b\cdot x-c)=-b\cdot \mathrm {Tr} _{B/A}(x)-c\cdot \mathrm {Tr} _{B/A}(1)=b^{2}-2c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57aec8a24333677a694434c04bd73a9b53644f65)
Diskriminante eines Zahlkörpers
Sei K ein Zahlkörper und OK sein Ganzheitsring. Sei b1, ..., bn eine Basis von OK als Z-Modul, und seien {σ1, ..., σn} die Einbettungen von K in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von K ist das Quadrat der Determinante der n-mal-n-Matrix B deren (i,j)-Eintrag σi(bj) ist.[3]
![{\displaystyle \Delta _{K}=\left(\operatorname {det} \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17760650b974ef6583378c706b2e5910a3c7a55)
Siehe auch
Literatur
- Falko Lorenz: Algebraische Zahlentheorie. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993, ISBN 3-411-16701-7.
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 2006. ISBN 3-540-37547-3.
Einzelnachweise
- ↑ Neukirch: Satz. I.2.8
- ↑ Neukirch: Thm. III.2.6
- ↑ Neukirch: §I.2, nach Kor. I.2.7 und Bem. nach Satz I.2.11