Die Artin-Schreier-Theorie gehört in der Mathematik zur Körpertheorie. Für Körper positiver Charakteristik
beschreibt sie abelsche Galois-Erweiterungen vom Exponenten
und ergänzt damit die Kummer-Theorie. Sie ist benannt nach Emil Artin und Otto Schreier.[1]
Motivation: zyklische Erweiterungen vom Grad p
Sei
ein Körper der Charakteristik
Der Ausgangspunkt der Artin-Schreier-Theorie ist das Artin-Schreier-Polynom
![{\displaystyle f_{a}(X)=X^{p}-X-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5607dd69d1a866b493b1702e8059559929208a3d)
für ein
Aus dem kleinen Satz von Fermat oder abstrakter aus den Eigenschaften des Frobeniushomomorphismus folgt: Für
ist
Daraus ergibt sich: Ist
eine Nullstelle von
in einem Erweiterungskörper von
dann sind die weiteren Nullstellen
Hat
keine Nullstelle in
ist es folglich irreduzibel, und der Erweiterungskörper
ist galoissch mit Galois-Gruppe
erzeugt von
Sei umgekehrt
eine Galois-Erweiterung vom Grad
und
ein Erzeuger der Galois-Gruppe. Nach dem Normalbasissatz existiert ein
sodass
eine Basis von
als
-Vektorraum ist. Nach Konstruktion ist die Spur
![{\displaystyle {\text{Spur}}_{L/K}(x)=x+\sigma x+\dots +\sigma ^{p-1}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a47c04bbf465a0a6a8cb5b6fe64c0367c4df0ee)
nicht 0. Setze
![{\displaystyle \omega =-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p-1}k\cdot \sigma ^{k}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70be0b26538e7349600b15923d56656cd7e3cf0)
Dann ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\omega )&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p-1}k\cdot \sigma ^{k+1}x\\&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\left(\sum _{k=0}^{p-1}(k+1)\cdot \sigma ^{k+1}x-\sum _{k=0}^{p-1}\sigma ^{k+1}x\right)\\&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p}k\cdot \sigma ^{k}x+1\\&=\omega +1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699a01c41d7d6feb97afd59cfbc4dd863f72a4be)
und folglich
![{\displaystyle \sigma (\omega ^{p}-\omega )=(\sigma \omega )^{p}-\sigma \omega =(\omega +1)^{p}-(\omega +1)=\omega ^{p}-\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a5a5651b064bc40291a372e457785ef46a01a5)
Daher ist
invariant unter der Galois-Gruppe, liegt also in
Das so konstruierte Element
hängt von der Wahl von
ab, aber in kontrollierter Weise: Ist
ein anderes Element mit
dann ist
also ist
mit einem Element
und
![{\displaystyle \omega _{1}^{p}-\omega _{1}=(\omega +d)^{p}-(\omega +d)=\omega ^{p}+d^{p}-\omega -d=a+(d^{p}-d).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e038a032fffc517f5e699926f5e8432b16b87863)
Folglich ist die Restklasse von
modulo
eindeutig bestimmt.
Resultate
Sei
ein Körper der Charakteristik
- Sei
Die Abbildung, die einem Element
den Zerfällungskörper des Polynoms
zuordnet, induziert eine Bijektion von
auf die Menge der Isomorphieklassen von Galois-Erweiterungen von
vom Grad ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
Die allgemeinere Fassung von Ernst Witt lautet:[2]
- Sei
ein separabler Abschluss von
und
der additive Gruppenhomomorphismus
Dann gibt es die folgende explizite Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen von
und der Menge der (nicht notwendigerweise endlichen) abelschen Erweiterungen von
vom Exponenten
(d. h. für jedes Element
der Galoisgruppe gilt
): Eine Untergruppe von
werde mit ihrem Urbild in
identifiziert. Dann ist
die zugehörige abelsche Erweiterung vom Exponenten
Für endliche Untergruppen
ist
Die Umkehrabbildung ordnet einer Erweiterung
die Gruppe
zu.
Galoiskohomologische Interpretation
Sei weiterhin
ein Körper der Charakteristik
ein separabler Abschluss von
und
Sei außerdem
die absolute Galoisgruppe von
Das Polynom
ist für jedes
separabel, weil seine Ableitung
ist. Deshalb ist der Homomorphismus
surjektiv. Sein Kern ist
Man erhält also eine kurze exakte Sequenz von
-Moduln:
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K^{\text{sep}}{\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}K^{\text{sep}}\to 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9efee98dff4a2045dbfb1fc71aaa9ca0fd90adb)
Sie induziert in der Galoiskohomologie eine lange exakte Sequenz
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K{\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}K\to {\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a2ebb45a57262b8f946f4c318acfd7ef17f497)
Dabei wurde verwendet:
![{\displaystyle H^{0}(G_{K},K^{\text{sep}})=K.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b440a922fd23a49889ed4d8279d301bc93a3cc8)
(stetige Homomorphismen), weil
trivial auf
operiert.
weil
über alle endlichen Galois-Erweiterungen von
ist. Mit einer Verallgemeinerung des oben angegebenen Arguments mit dem Normalbasissatz kann man
zeigen.
Für die Betrachtung von Erweiterungen vom Grad
ist die allgemeine Aussage aber nicht erforderlich: Sei
eine Galois-Erweiterung vom Grad
Dann ist
und durch Verkettung mit der Projektion
erhält man einen Homomorphismus
Mit der Einbettung
erhält man einen 1-Kozykel
der aber schon in der Untergruppe
liegt. Das oben konstruierte Element
hat die Eigenschaft
für alle
also ist
ein 1-Korand. Die allgemeine gruppenkohomologische Konstruktion zeigt, dass
ein Urbild von
unter dem Verbindungshomomorphismus ist.
Ist umgekehrt
gegeben, kann man ein Urbild
wählen, und der Homomorphismus
ist
Der Kern von
und
entsprechen einander unter der Galois-Korrespondenz.
Also ist der sich aus der langen exakten Sequenz ergebende Isomorphismus
mit der weiter oben erläuterten expliziten Konstruktion identisch.
Für die allgemeinere Aussage über Untergruppen muss man noch Untergruppen von
mit Erweiterungen vom Exponenten
identifizieren: Einer Untergruppe
entspricht der Fixkörper von
einer abelschen Erweiterung
vom Exponenten
entspricht die Untergruppe der Homomorphismen, die über den Quotienten
faktorisieren.
Artin-Schreier-Symbol und Klassenkörpertheorie
Das Artin-Schreier-Symbol ist eine Ergänzung zum Potenzrestsymbol und dient wie dieses der expliziten Beschreibung der lokalen Reziprozitätsabbildung und führt so zu einer Teilaussage des Existenzsatzes der lokalen Klassenkörpertheorie. Sei
ein lokaler Körper der Charakteristik
d. h. isomorph zu einem formaler Laurentreihenkörper
für eine Potenz
Das Artin-Schreier-Symbol entsteht aus der kohomologischen Paarung
![{\displaystyle K/\wp K\times G_{K}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61856a14686beab82976a1e8eb4f291c4148f29c)
durch Verkettung mit der Reziprozitätsabbildung
Ist
und
mit
und
dann gilt:
![{\displaystyle [a,b)=(b,{*}/K)\omega -\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b549d0cf4756bd3ff6560939468ccacc47fb1a)
Das Artin-Schreier-Symbol induziert eine nicht ausgeartete Bilinearform
![{\displaystyle K/\wp K\times K^{*}/(K^{*})^{p}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cd3e0403e4777140477c3a4fa5f9b3cf71b5ef)
Weitere Eigenschaften sind:
- Es gilt
genau dann, wenn
eine Norm in der Erweiterung
ist. - Es gilt
für alle ![{\displaystyle a\in K^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083290a2b5013e494f469c50a16f519c396d3315)
Das Artin-Schreier-Symbol hat die folgende explizite Beschreibung: Sei
ein Symbol,
der eindimensionale, von
aufgespannte Vektorraum sowie
![{\displaystyle d\colon \mathbb {F} _{q}((T))\to \Omega ,\ \ \sum a_{n}T^{n}\mapsto \left(\sum a_{n}\cdot nT^{n-1}\right)dT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171a1632262f224560c4fe3e982319a6e9c1fa4e)
und die Residuenabbildung
![{\displaystyle {\text{res}}\colon \Omega \to \mathbb {F} _{q},\ \ \left(\sum a_{n}T^{n}\right)dT\mapsto a_{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0678e765937405899d88fa689253bb17700f12)
(Die Konstruktion ist unabhängig vom Isomorphismus
) Für
und
ist dann:[3]
![{\displaystyle [a,b)={\text{Spur}}_{\mathbb {F} _{q}/\mathbb {F} _{p}}\ {\text{res}}\left(a\cdot {\frac {db}{b}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88d5bb51c5df4777ff24cf55d78160add4c5ec0)
Aus dieser Formel kann man nachweisen, dass das Artin-Schreier-Symbol wie behauptet nicht ausgeartet ist. Daraus folgt, dass ein Element in
das für jede Galois-Erweiterung
vom Grad
in der Normengruppe
liegt, eine
-te Potenz ist. Daraus folgt, dass der Schnitt aller Normengruppen trivial ist, ein wesentlicher Schritt (je nach Zugang) im Beweis des lokalen Existenzsatzes.[4]
Die lokalen Artin-Schreier-Symbole lassen sich auch zu einer globalen Paarung
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}/\wp \mathbb {A} _{K}\times I_{K}/I_{K}^{p}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1de41023cb4ec51db92499e76b4007dd9b3bce8)
(dabei
der Adelring und
die Idelgruppe) zusammensetzen und für den Beweis des globalen Existenzsatzes im Funktionenkörperfall benutzen.[5]
Geometrische Sichtweise
Im Zentrum der geometrischen Betrachtung steht der Artin-Schreier-Morphismus
![{\displaystyle \wp =F-1:\mathbb {G} _{a}\to \mathbb {G} _{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d249d00d6cee807078791ddb1579bc49aeebefe)
der als Lang-Isogenie für die additive Gruppe
aufgefasst werden kann (
ist der relative Frobeniusmorphismus).
ist eine (zusammenhängende und mithin nicht triviale) étale Galois-Überlagerung mit Gruppe
Die Existenz von
zeigt, dass die geometrische étale Fundamentalgruppe der affinen Geraden nicht trivial ist, im Unterschied zur Situation in Charakteristik 0.
Ein Körperelement
entspricht einem Morphismus
und die Faser von
über
ist entweder der triviale
-Torsor oder die durch das Polynom
definierte Artin-Schreier-Erweiterung von
Zum Artin-Schreier-Torsor assoziierte Garben sind relevant für die Fourier-Deligne-Transformation.[6]
Artin-Schreier-Witt-Theorie
Die hier skizzierte Theorie verallgemeinert die Artin-Schreier-Theorie auf Erweiterungen, deren Exponent eine Potenz von
ist. Sie ist der Inhalt der Arbeit von Witt, in der er die Wittvektoren einführt.[7] Der erste Teil ist eine allgemeine Aussage über abelsche Erweiterungen von Körpern der Charakteristik
der zweite Teil eine explizite Beschreibung eines Teils der lokalen Klassenkörpertheorie im Fall von Funktionenkörpern.
Sei wieder
ein Körper der Charakteristik
ein separabler Abschluss von
und
die absolute Galois-Gruppe von
Sei
die Gruppe der
-typischen Wittvektoren der Länge
und
der Frobeniushomomorphismus
![{\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n-1})\mapsto (x_{0}^{p},\dots ,x_{n-1}^{p}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba376a78d2f967ff04d22b923a8333150e47789a)
Mit
![{\displaystyle \wp :W_{n}(K^{\text{sep}})\to W_{n}(K^{\text{sep}}),\ \ x\mapsto F(x)-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619a7911efcbbfb5ad6a2fe7479bbc1b0ef2c33b)
ist
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to W_{n}(K^{\text{sep}}){\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}W_{n}(K^{\text{sep}})\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b71e1252431189e8dd57c8deec6bc899352badf)
eine exakte Sequenz von
-Moduln, wobei
verwendet wurde. Die Galois-Kohomologie
verschwindet, weil die Quotienten bezüglich der
-Filtrierung isomorph zu
sind und
gilt (siehe oben). Also ist
und wie oben erhält man daraus eine Korrespondenz zwischen abelschen Erweiterungen, deren Exponent ein Teiler von
ist, und Untergruppen von
[8]
Sei
ein lokaler Körper (formale Laurentreihen). Zu einem Wittvektor
und einem Körperelement
definiert Witt eine zentrale einfache Algebra
die von
und den kommutierenden Elementen
mit den Relationen
![{\displaystyle u^{p^{n}}=b,\ \wp (v)=a,\ v^{u}=v+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cf64d77f3bcf90b0aca3f0f78198bd084b8495)
erzeugt wird. Dabei wird mit
als einem Wittvektor gerechnet, und
steht für den Wittvektor
Sei
mit
und
außerdem
die Reziprozitätsabbildung. Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist definiert als
![{\displaystyle [a,b)=(b,L/K)(\omega )-\omega \in W_{n}(\mathbb {F} _{p})\cong {\tfrac {1}{p^{n}}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} /\mathbb {Z} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac9438bce6a8cd82a5b02abb3d7e55ee6dab104)
es ist eine nichtausgeartete bilineare Paarung
![{\displaystyle W_{n}(K)/\wp W_{n}(K)\times K^{*}/(K^{*})^{p^{n}}\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f22b61287a8c3d4a47bcfe513b4eb54bff472c)
Es ist
genau dann, wenn
gilt. Der Wert des Symbols ist gleich der Invariante der zentralen einfachen Algebra:
Witt gibt auch eine Beschreibung der Invariante als ein auf Wittvektoren von Laurentreihen fortgesetztes Residuum.[9]
Literatur
- Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66671-0, Kap. VI §1.
- Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549–631.
- J.-P. Serre: Local Fields. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90424-7.
Fußnoten
- ↑ Die Originalarbeit ist: Emil Artin, Otto Schreier: Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper. In: Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Universität Hamburg. Band 5, Nr. 1, 1927, S. 225–231, doi:10.1007/BF02952522.
- ↑ Roquette 2001, Kap. 7.2. Die Originalarbeit ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 173, 1935, S. 34–51.
- ↑ Formel erstmals angegeben von Hermann Ludwig Schmid, siehe Roquette 2001, Kap. 7.1. Die Originalarbeit ist: Hermann Ludwig Schmid: Über das Reziprozitätsgesetz in relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörpern mit endlichem Konstantenkörper. In: Mathematische Zeitschrift. Band 40, 1935, S. 91–109.
- ↑ Serre 1979, XIV §6
- ↑ André Weil: Basic Number Theory. 3. Auflage. Springer, New York 1974, ISBN 0-387-06935-6, Kap. XIII §7. Shokichi Iyanaga: The Theory of Numbers. North-Holland, Amsterdam 1975, ISBN 0-444-10678-2, Kap. V §4.
- ↑ Reinhardt Kiehl, Rainer Weissauer: Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l-adic Fourier Transform. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-41457-6.
- ↑ Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math. Band 176, 1936, S. 126–140.
- ↑ Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, San Francisco 1980, ISBN 0-7167-1079-X, Kap. 8.11. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-33942-6, Kap. IX §1 Ex. 19-21.
- ↑ Siehe auch: Lara Thomas: Ramification groups in Artin-Schreier-Witt extensions. In: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. Band 17, Nr. 2, 2005, S. 689–720 (online).