Eine *-Algebra ist ein mathematischer Begriff aus der abstrakten Algebra. Eine *-Algebra bezeichnet eine algebraische Struktur, die einen involutiven Antiautomorphismus besitzt.
Definition
Eine *-Algebra
über
ist ein komplexer Vektorraum mit einem
-bilinearen, assoziativen Produkt
und einer Abbildung
, welche ein
-antilinearer, involutiver Antiautomorphismus ist. Es gilt also[1]
![{\displaystyle (sa+tb)^{*}={\bar {s}}a^{*}+{\bar {t}}b^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5ff0f81aeac11b86bcdcc575fefed4f183cbf2)
![{\displaystyle (a^{*})^{*}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512a2a59808762ffe6287069b387439067048f88)
![{\displaystyle (ab)^{*}=b^{*}a^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f462adfe8aeca50ec35afae0b3ae3746dab49496)
für
und
.
Erläuterungen
Sei
, dann gilt in dieser Notation
![{\displaystyle f(sa+tb)={\bar {s}}f(a)+{\bar {t}}f(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a153a1648a2e36c649a4ecb6dfdb358c9a47560)
![{\displaystyle f(f(a)))=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec9a9ea1f04c3c22b9aca4a9d261c1437d00d4f)
![{\displaystyle f(ab)=f(b)f(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8e9245799562c8a513433b0e0df24c98e93fc3)
für
und
.
Beispiele
- Die komplexen Zahlen
bilden mit der durch komplexe Konjugation gegebenen Abbildung
eine *-Algebra. - Die Algebra
der komplexen
-Matrizen mit der durch Bildung der transponiert-konjugierten Matrix gegebenen Abbildung
ist eine *-Algebra. - Die beschränkten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes
bilden mit der durch Adjunktion von Operatoren gegebenen Abbildung eine *-Algebra
. Nach Definition der Adjunktion gilt die Gleichung
für alle
. - Die kompakten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes
bilden eine *-Unteralgebra
. - Von-Neumann-Algebren sind *-Unteralgebren von
für einen Hilbert-Raum
. - Die Automorphismen einer abelschen Varietät bilden mit der Rosati-Involution eine *-Algebra.
- Ist
eine lokalkompakte Gruppe, so trägt die L1-Gruppenalgebra
eine Involution, die
zu einer *-Algebra macht. Für
ist
definiert durch
, wobei
die modulare Funktion von
ist.
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.