Σ-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet.

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T₃ garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.^[1]

• Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.^[2]
• Hemikompakte Räume sind σ-kompakt.^[3]
• Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist σ-kompakt.

• Beispielsweise ist ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n]}$, so dass sich ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume ${\displaystyle [-n,n]}$ darstellen lässt.
• Der Raum der finiten ${\displaystyle \mathbb {K} }$-wertigen Folgen ${\displaystyle c_{00}}$ (versehen mit der Norm ${\displaystyle ||\cdot ||_{\infty }}$) ist ${\displaystyle \sigma }$-kompakt, denn es ist ${\displaystyle c_{00}=\bigcup \limits _{j=1}^{\infty }K_{j}}$, wobei ${\displaystyle K_{j}\subseteq c_{00}}$ die kompakte Teilmenge der Folgen ${\displaystyle x=(x_{\ell })_{\ell }\in c_{00}}$ mit ${\displaystyle ||x||_{\infty }\leq j}$ und ${\displaystyle x_{\ell }=0}$ für ${\displaystyle \ell \geq j}$ sei. ${\displaystyle c_{00}}$ ist aber nicht lokal kompakt, da ${\displaystyle \dim c_{00}=\infty }$ gilt.

• Stephen Willard: General Topology. Dover Publications, 2004, ISBN 0-486-43479-6 (englisch). 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2.

1. ↑ Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 336.
2. ↑ Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-56860-2, S. 111 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
3. ↑ Willard 2004, S. 126