Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:
- myšleno v steradiánech
![{\displaystyle \alpha +\beta =4\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c9167c173ccd309de3248e9aebf2f0b5e2bcd0)
Výpočet
Výpočet užitím zlatého řezu
Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (
), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:
![{\displaystyle \beta =\varphi \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc581a26138d72a437bdba367fde3deb989a9754)
![{\displaystyle 4\pi =\varphi \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca50c491961c1b3cc323b12b76086195fc2f6aff)
Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:
![{\displaystyle 4\pi =\varphi ^{2}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376dcaa2b2a862d3e0c8401da3fa943bb68c04dc)
Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:
![{\displaystyle {\frac {4\pi }{\varphi ^{2}}}=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebdcabe63e1cd1efabd2f5373ac60f32c1b511a)
Výpočet bez znalosti zlatého řezu
Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.
Úloha je zadána dvěma rovnicemi.
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{4\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9b8d1a7400abcb8d07252c7e625ce1d9736a95)
![{\displaystyle \alpha +\beta =4\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c9167c173ccd309de3248e9aebf2f0b5e2bcd0)
Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.
![{\displaystyle \beta =4\pi -\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df75922f8e0ac53d7c27a3a2f6537394af9b37b)
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{4\pi -\alpha }}={\frac {4\pi -\alpha }{4\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1025a1b58baec7f1f176f50df7f3a922ab3b07)
Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.
![{\displaystyle 4\pi \alpha =16\pi ^{2}-8\pi \alpha +\alpha ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f873d4b58c0fe67dc57586d823956ad1f72a906a)
![{\displaystyle 0=16\pi ^{2}-12\pi \alpha +\alpha ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9bdbd23a55d69bde6309d481038864870d2014)
A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.
![{\displaystyle \alpha _{1,2}={\frac {12\pi \pm {\sqrt {80}}\pi }{32}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f95598fafc1ef9c55521a5addfe97bdd681a05)
![{\displaystyle \alpha _{1}={\frac {12\pi +{\sqrt {80}}\pi }{32}}={\frac {{\sqrt {14}}\pi }{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd93bfe2375485b236b89e4f30f8cf6468d5372)
![{\displaystyle \alpha _{2}={\frac {12\pi -{\sqrt {80}}\pi }{32}}={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3594386a65a6df9f14cedb6348c71021bb3588)
Související články
Portály: Matematika