Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině. Zapisuje se , kde funkce se nazývá integrand[1] a je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na
Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.[pozn. 1]
Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.
Dvojný integrál na obdélníku
Pro mějme funkci .
Rozdělíme-li každý z intervalů na konečnou množinu disjunktních podintervalů , získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů , pro které platí .
(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce ) na intervalu můžeme aproximovat Riemannovým součtem:
,
kdeXk jje prvek intervalu Ik and σ(Ik) je míra intervalu Ik (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů ) .
Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná, jestliže existuje konečná limita přes všechna dělení intervalu I na podintervaly míry maximálně δ:
.[3]
Jestliže je f is Riemannovsky integrovatelná, tak S se nazývá (vícerozměrný) Riemannův integral funkce f na intervalu I a píše se
.
Na měřitelné množině
Buď funkce omezená na neprázdné měřitelné množině. Řekneme, že funkce je na množině (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce definovaná předpisem [pozn. 2]
integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu takovém, že .
Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce na množině pak rozumíme číslo .[4][pozn. 3]
Pro prázdnou množinu definujeme pro každou funkci .[4]
Speciální případy
V případě, že , tak se nazývá dvojný integrál funkce f na M, dále pro je trojný integrál funkce f na M.
Vlastnosti
Většinu vlastností má vícerozměrný integrál stejné jako jednorozměrný určitý integrál. Mezi nimi linearitu, komutativitu.
Důležitou vlastností je, že hodnota vícenásobného integrálu nezávisí na pořadí integrace. Toto je známo jako Fubiniova věta.
Podmínky integrovatelnosti
Je-li funkce spojitá v uzavřeném intervalu , pak existuje .[5]
↑Tato definice nezávisí na volbě intervalu takového, že .[4]
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiple integral na anglické Wikipedii.
↑MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT [online]. Brno: VUT [cit. 2022-10-11]. S. 145. Dostupné online.
↑Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák. Herbář funkcí [online]. Ostrava: VŠB TUO, 2011 [cit. 2022-10-11]. Dostupné online.
↑RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd. vyd. [s.l.]: McGraw–Hill (Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics). Dostupné online. ISBN978-0-07-054235-8.Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
↑ abcdVODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 13. června 2012 [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině, s. 11. Dostupné online.
↑VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.2 Dvojný integrál na intervalu, s. 5.