Protiřetězec

Protiřetězec (někdy také označovaný jako antiřetězec) je matematický termín z oboru algebry a teorie uspořádání, který se používá pro označení množin vzájemně neporovnatelných prvků.

Předpokládejme, že množina ${\displaystyle X\,\!}$ je uspořádána relací ${\displaystyle R\,\!}$. O podmnožině ${\displaystyle Y\subseteq X\,\!}$ řekneme, že se jedná o protiřetězec, pokud jsou každé dva různé prvky ${\displaystyle a,b\in Y\,\!}$ neporovnatelné pomocí ${\displaystyle R\,\!}$, tj.
${\displaystyle (\forall a,b\in Y)(a\leq _{R}b\implies a=b)\,\!}$

V lineárně uspořádané množině nemá pojem protiřetězec příliš dobrý smysl – každé dva prvky jsou porovnatelné a neexistují jiné než (nepříliš zajímavé) jednoprvkové protiřetězce. To se týká například běžného uspořádání reálných čísel nebo přirozených čísel podle velikosti.

Uvažujme ostré uspořádání ${\displaystyle R\,\!}$ množiny komplexních čísel podle vzdálenosti od nuly (tj. podle absolutní hodnoty). Kdo by měl problém s pojmem komplexního čísla, může si představit geometrickou rovinu a vzdálenost bodů (uspořádaných dvojic) od počátku souřadnic (tj. od bodu [0,0]):
${\displaystyle c_{1}<_{R}c_{2}\Leftrightarrow |c_{1}|<|c_{2}|\,\!}$

Položme si otázku, jaké největší protiřetězce zde existují. Každé dva body, které mají stejnou vzdálenost od nuly (leží na stejné kružnici se středem v nule) jsou neporovnatelné a mohou tedy spolu náležet do protiřetězce. Jakmile ale nějaké dva body leží na dvou různých kružnicích se středem v 0, mají různou absolutní hodnotu a jsou porovnatelné – nemohou být spolu v jednom protiřetězci.

Největší možné protiřetězce při tomto uspořádání komplexních čísel jsou tedy soustředné kružnice se středem v bodě 0.

Uvažujme o množině všech kladných přirozených čísel, s uspořádáním podle dělitelnosti (tj. ${\displaystyle a\leq _{|}b\,\!}$, pokud ${\displaystyle a\,\!}$ dělí ${\displaystyle b\,\!}$).

Při tomto uspořádání existují v množině přirozených čísel libovolně velké (co do počtu prvků) protiřetězce. Příkladem nekonečného protiřetězce je množina všech prvočísel. Tento protiřetězec je přitom největší možný – jakékoliv kladné přirozené číslo je porovnatelné s nějakým prvočíslem, takže ho nelze k tomuto protiřetězci přidat, aniž by přestal být protiřetězcem.

Existuje zde ale i jeden největší možný protiřetězec, který je pouze jednoprvkový – je to množina ${\displaystyle \{1\}\,\!}$. Důvod je ten, že číslo 1 je porovnatelné s každým přirozeným číslem (dělí každé přirozené číslo).

• Hasseův diagram
• Dobře uspořádaná množina
• Lineární uspořádání