Paralelní přenos je způsob, jakým lze vytvořit rovnoběžný vektor k jinému vektoru v libovolně zakřiveném prostoru (nebo prostoročase).
Odvození
Mějme v lokálním inerciálním systému dva body a mezi nimi libovolnou křivku, jejíž parametrizaci označíme jako
. V jednom z těchto bodů mějme vektor
(index
označuje jeho složky). Vektor k němu rovnoběžný ve druhém bodě vytvoříme tak, že budeme
přenášet podél definované křivky paralelně, tj. za splněné podmínky
.
Vektor, který je rovnoběžný ke křivce, označíme
. Z definice platí pro jeho složky
,
kde
značí složky polohového vektoru v lokálním inerciálním systému. Pak z předchozí rovnice plyne
(zde symbol
znamená derivaci podle souřadnice).
Označíme-li polohové vektory v obecných souřadnicích
, pak transformace vektoru
na
je dána vztahem
Po dosazení do první rovnice dostaneme
.
Přeznačením indexů u prvního výrazu z
na
a vynásobením
přejde rovnice na
,
což lze také zapsat jako
,
kde
jsou složky afinní konexe. Toto je rovnice pro paralelní přenos.
Rovnice geodetiky
Rovnici paralelního přenosu
lze také zapsat pomocí kovariantní derivace jednoduše jako
nebo
.
Pokud přenášíme rovnoběžný vektor
,
dostaneme rovnici geodetiky
.
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu paralelní přenos na Wikimedia Commons
Portály: Matematika