Materiálová derivace

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

---

Konkrétní problémy: úvod

Uvažujme určitou fyzikální veličinu Φ spjatou s hmotnou částicí kontinua, která je obecně proměnná v čase. Podle uvažovaného popisu (lagrangeovského i eulerovského), lze definovat následující derivace:^[1]

${\displaystyle {\frac {\delta \Phi }{\delta t}}={\frac {\partial \Phi (y,t)}{\partial t}}}$,

kde y značí prostorovou souřadnici. Tato derivace charakterizuje změnu veličiny Φ v pevném bodě prostoru.^[1]

${\displaystyle {\frac {D\Phi }{Dt}}={\frac {\partial \Phi (x,t)}{\delta t}}}$

tato derivace značí změnu Φ dané hmotné částice. V této rovnosti x značí materiálovou souřadnici a je pevné (x=(x¹,x²,x³)).^[1]

Mezi oběma derivacemi existuje vztah, který získáme užitím transformačního vztahu popisujícího pohyb kontinua a vyjadřujícího časovou závislost mezi oběma souřadnicovými systémy:^[1]: yⁱ=yⁱ(x¹,x²,x³,t) (uvažujme pouze kartézský souřadnicový systém). Platí^[1]

${\displaystyle {\frac {D\Phi }{Dt}}={\frac {\partial \Phi (y,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y^{i}}}{\frac {\partial y^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y^{i}}}v^{i}}$,

kde jsme derivaci: ${\displaystyle \partial y^{i}/\partial t}$ označili, jak je to běžné, jako rychlost dané částice kontinua.