Matematické symboly a značky
Matematický symbol je libovolný znak, používaný v matematice. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty, znak pro množinu, prostor, proměnnou a mnoho dalších matematických objektů.
Termín matematický symbol vznikl překladem z angličtiny a přestože je často používaný, dle jazykových doporučení ÚNMZ [pozn. 1] a české technické normy ČSN ISO 80000-2 je správné označení matematická značka.[pozn. 2]
Základní matematické značky
V matematice existují zažité konvence, které značky se užívají pro konkrétní účel. Zde je přehled některých z nich včetně jejich typického užití:
![ikona](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Broom_icon.svg/48px-Broom_icon.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Preferences-system.svg/16px-Preferences-system.svg.png)
{{vyjmout}}
, do samostatných článků?Dále z hodnoty "Oblast použití" udělat samostatný sloupec, aby se pak podle něj dalo i řadit/třídit: V současném stavu sice tabulka vypadá vyčerpávající, používat se ale vlastně nedá a ani udržovat.
Více rozebrat přibližnou rovnost/zaokrouhlení: ≈ vs zastaralý(?) ≐.
Značka Unicode \TeX | Název | Vysvětlení | Příklady |
---|---|---|---|
Čte se | |||
Oblast použití | |||
= 003D = | rovnost | x = y znamená, že x a y reprezentují stejnou hodnotu či objekt. | Jestliže x = y a y = 1, pak x = 1 (tranzitivita) |
rovná se | |||
všude v matematice | |||
≠ 2260 \neq | nerovnost | x ≠ y znamená, že x a y nereprezentují stejnou hodnotu či objekt. | 1 ≠ 2 |
nerovná se | |||
všude v matematice | |||
< 003C > 003E ≪ 226A ≫ 226B | ostrá nerovnost | x < y znamená, že x je menší než y. x > y znamená, že x je větší než y. x ≪ y znamená, že x je mnohem menší než y. x ≫ y znamená, že x je mnohem větší než y. | 3 < 4 5 > 4 0,003 ≪ 1 000 000 |
je menší; je větší; je mnohem menší; je mnohem větší | |||
všude v matematice | |||
≤ 2264 ≥ 2265 | neostrá nerovnost | x ≤ y znamená, že x je menší nebo rovno y. x ≥ y znamená, že x je větší nebo rovno y. | 3 ≤ 4; 5 ≤ 5 5 ≥ 4; 5 ≥ 5; pro všechna reálná α platí −1 ≤ sin α ≤ 1 |
menší nebo roven; větší nebo roven | |||
všude v matematice | |||
~ 223C ∝ 221D | úměrnost | y ~ x, resp. y ∝ x znamená, že existuje taková konstanta k,že y = kx. | jestliže y = 2x, tak y ~ x |
je úměrná | |||
všude v matematice | |||
+ 002B | sčítání | 4 + 6 značí součet 4 a 6. | 2 + 7 = 9 |
plus | |||
aritmetika, ale i jinde | |||
− 2212 | odčítání | 36 − 5 značí rozdíl 36 a 5. | 36 − 5 = 31 |
minus, bez | |||
aritmetika, ale i jinde | |||
opačné číslo | −3 značí číslo opačné k číslu 3. | −(−3) = 3 36 + (−5) = 36 − 5 = 31 | |
negative; minus | |||
aritmetika, ale i jinde | |||
rozdíl množin | A − B značí množinu, která obsahuje všechny prvky množiny A, které nejsou prvky množiny B. | {a,b,c} − {a,c,d} = {b} | |
bez; minus | |||
teorie množin | |||
× 00D7 | násobení | 3 × 4 značí součin 3 a 4. | 7 × 8 = 56 |
krát | |||
aritmetika | |||
kartézský součin | X×Y značí množinu uspořádaných dvojic (x, y) takových, že x je prvkem X a y je prvkem Y. | {1;2} × {3;4} = {(1;3);(1;4);(2;3);(2;4)} | |
kartézský součin ... a ... | |||
teorie množin | |||
vektorový součin | u × v značí vektorový součin vektorů u a v | (1; 2; 5) × (3; 4; −1) = (−22; 16; − 2) | |
cross | |||
lineární algebra | |||
· 22C5 | násobení | 3 · 4 značí součin 3 a 4. | 7 · 8 = 56 |
krát | |||
aritmetika | |||
skalární součin | u · v značí skalární součin vektorů u a v | (1; 2; 5) · (3; 4; −1) = 6 | |
krát | |||
lineární algebra | |||
÷ 00F7 ⁄ 002F ∶ 2236 | dělení | 6 ÷ 3, 6 ⁄ 3 nebo 6 ∶ 3 znamená podíl 6 ku 3. Užívá se též zlomková čára. Znak ÷ se nedoporučuje užívat, pro poměr nebo dělení je preferován znak 2236 (∶) oproti znaku 003A (:)[1]. | 2 ÷ 4 = 0,5; nedoporučuje se užívat 12 ⁄ 4 = 3 20 ∶ 5 = 4 |
děleno; ku | |||
aritmetika | |||
± 00B1 | plus-minus | Výraz s ± představuje dvě hodnoty. 6 ± 3 značí jak 6 + 3, tak 6 − 3. | Rovnice x = 5 ± √4 má dvě řešení: x = 7 a x = 3. |
plus-minus | |||
aritmetika, algebra | |||
dříve: nejistota hodnoty | dříve 10 ± 2 značilo číslo z intervalu od 10 − 2 do 10 + 2; nyní totéž píšeme 10(2). | Je-li v ≥ 99,998 m/s a v ≤ 100,008 m/s, pak dříve se psalo v = 100,003 m/s ± 0,005 m/s, nyní píšeme v = 100,003(5) m/s. | |
plus-minus | |||
aproximace; numerické metody | |||
√ 221A | odmocnina | značí číslo y, pro které je .[pozn. 3] | |
n-tá odmocnina | |||
algebra | |||
|…| 007C...007C | absolutní hodnota | | x | značí vzdálenost (na reálné ose, v komplexní rovině) mezi x a počátkem souřadnic. | | 3 | = 3 | –5 | = | 5 | | i | = 1 | 3 + 4 i | = 5 |
absolutní hodnota | |||
teorie čísel; matematická analýza; lineární algebra | |||
norma vektoru | |x| značí normu x. | Pro x = (1; 1) je |x| = | |
norma | |||
geometrie; lineární algebra; matematická analýza | |||
determinant | |A| značí determinant matice A | ||
determinant matice | |||
lineární algebra | |||
mohutnost | |X| značí počet prvků množiny X | |{3; 5; 7; 9}| = 4 |{x, y, z}| = 3 | |
kardinalita množiny; mohutnost množiny | |||
teorie množin | |||
| 2223 | dělitelnost | a|b znamená, že a dělí b, tedy: existuje celé číslo c takové, že c = b/a. | Protože 15 = 3×5, tak platí 3|15 a 5|15. |
dělí | |||
teorie čísel | |||
podmíněná pravděpodobnost | P(A|B) značí pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastane jev B. Značíme-li P(X) pravděpodobnost jevu X a P(XY) pravděpodobnost současného výskytu jevů X i Y, pak
| Jsou-li A, B nezávislé, je P(A|B) = P(A). Jestliže z B plyne A, pak P(A|B) = 1. | |
za podmínky | |||
pravděpodobnost | |||
! 0021 | faktoriál | n! značí součin 1 × 2 × ... × n. Definitoricky platí 0! = 1. | 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 |
faktoriál | |||
kombinatorika | |||
T hor.ind. 0054 | transpozice matice | Záměna sloupců matice za řádky a naopak. | |
transponováno | |||
lineární algebra | |||
~ 223C | řádková ekvivalence | A~B znamená, že B může být vytvořena z A konečným počtem elementárních řádkových operací. | |
je řádkově ekvivalentní s | |||
lineární algebra | |||
≃ 2243 | asymptotická rovnost | značí, že . | |
je asymptoticky ekvivalentní | |||
algebra; matematická analýza | |||
≈ 2248 | aproximace | x ≈ y značí, že x je přibližně rovno y. | dříve se psalo: (pomocí znaku ≐) |
je přibližně rovno; je aproximováno | |||
všude v matematice | |||
izomorfismus | G ≈ H značí, že grupa G je izomorfní s grupou H. | ℕ ≈ ℤ | |
je izomorfická | |||
algebra; teorie grup | |||
⇒ 21D2 | implikace | A ⇒ B znamená: Platí-li výrok A, tak platí i výrok B. | x = 2 ⇒ x2 = 4 je pravdivé, ale x2 = 4 ⇒ x = 2 není pravdivé (neboť x může být −2). |
implikuje; vyplývá; jestliže | |||
matematická logika, ale i jinde | |||
⇔ 21D4 | ekvivalence | A ⇔ B značí: A je pravdivé, jestliže B je pravdivé, a zároveň A je nepravdivé, jestliže B je nepravdivé. Neboli: A je pravdivé právě tehdy, když B je pravdivé. | x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y |
právě tehdy, když | |||
matematická logika, ale i jinde | |||
¬ 00AC | negace | Výraz ¬A je pravdivý právě tehdy, když A je nepravdivé. | ¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y) |
ne; negace | |||
matematická logika, ale i jinde | |||
∧ 2227 | konjunkce | Výraz A ∧ B je pravdivý právě tehdy, když oba A a B jsou pravdivé. | Pro přirozená n platí n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 |
a | |||
matematická logika, ale i jinde | |||
∨ 2228 | disjunkce | Výraz A ∨ B je pravdivý právě tehdy, když alespoň jeden z výrazů A, B je pravdivý. (Disjunkce je nepravdivá jen tehdy, když oba A, B jsou nepravdivé.) | Pro přirozená n platí n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 |
nebo | |||
matematická logika, ale i jinde | |||
∀ 2200 | obecný kvantifikátor | ∀ x: P(x) znamená, že P(x) platí pro všechna x. | ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n. |
pro všechna; pro každé | |||
predikátová logika, ale i jinde | |||
∃ 2203 | existenční kvantifikátor | ∃ x: P(x) znamená, že existuje alespoň jedno x, pro které P(x) je pravdivé. | ∃ n ∈ ℕ: n je liché. |
existuje; pro nějaké | |||
predikátová logika, ale i jinde | |||
∃¹ 2203,00B9 ∃! 2203,0021 | kvantifikátor jednoznačné existence | ∃! x: P(x) znamená, že existuje právě jedno x, pro které P(x) je pravdivé. | ∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n. |
existuje právě jedno; pro právě jedno | |||
predikátová logika, ale i jinde | |||
≅ 2245 | kongruence; shodnost | △ABC ≅ △DEF značí, že trojúhelník ABC je shodný (má stejnou velikost odpovídajících stran) s trojúhelníkem DEF. | |
je shodný s | |||
geometrie | |||
≡ 2261 | kongruence | a ≡ b (mod n) značí, že a a b mají stejný zbytek po dělení n, tedy že a − b je dělitelné n. Existují i jiné třídy kongruence než zbytkové. | 5 ≡ 11 (mod 3) |
... je kongruentní s ... (modulo ...) | |||
modulární aritmetika, ale i jinde | |||
{ , } 007B, 007D | množinové závorky | {a, b, c} označuje množinu o prvcích a, b a c. Pro čísla užíváme středník, hrozí-li záměna s desetinnou čárkou. | ℕ = { 1; 2; 3; …} |
množina ... | |||
teorie množin | |||
∅ 2205 { } 007B 007D | prázdná množina | ∅ značí množinu bez prvků. { } značí totéž. | {n ∈ ℕ : 1 < n2 < 4} = ∅ |
prázdná množina | |||
teorie množin | |||
∈ 2208 ∉ 2209 | prvek množiny | a ∈ S značí, že a je prvkem množiny S a ∉ S značí, že a není prvkem S | (1/2)−1 ∈ ℕ 2−1 ∉ ℕ |
je prvkem; není prvkem | |||
teorie množin | |||
⊆ 2286 | podmnožina | A ⊆ B značí, že každý prvek A je též prvkem B. | (A ∩ B) ⊆ A |
je podmnožinou | |||
teorie množin | |||
⊂ 2282 | vlastní podmnožina | A ⊂ B značí, že každý prvek A je též prvkem B a zároveň existuje alespoň jeden prvek B, který není prvkem A. (Někteří autoři užívají tento znak i pro podmnožinu; místo ⊆.) | ℕ ⊂ ℚ ℚ ⊂ ℝ |
je podmnožinou | |||
teorie množin | |||
⊇ 2287 | nadmnožina | A ⊇ B značí, že každý prvek B je též prvkem A. | (A ∪ B) ⊇ B |
je nadmnožinou | |||
teorie množin | |||
⊃ 2283 | vlastní nadmnožina | A ⊃ B značí, že každý prvek B je též prvkem A a zároveň existuje alespoň jeden prvek A, který není prvkem B. | ℝ ⊃ ℚ |
je nadmnožinou | |||
teorie množin | |||
∪ 222A | sjednocení | A ∪ B značí množinu, která obsahuje prvky, které jsou alespoň v jedné z množin A a B. | A ⊆ B ⇔ (A ∪ B) = B |
sjednocení množin ... a ... | |||
teorie množin | |||
∩ 2229 | průnik | A ∩ B značí množinu, která obsahuje prvky, které jsou množinám A a B společné. | {x ∈ ℝ : x2 = 1} ∩ ℕ = {1} |
průnik množiny ... s ... | |||
teorie množin | |||
∖ 2216 | rozdíl množin | A ∖ B značí množinu, která obsahuje ty prvky A, které neobsahuje B. − někdy též označuje rozdíl množin. | {1; 2; 3; 4} ∖ {3; 4; 5; 6} = {1; 2} |
minus; rozdíl množin ... a ... | |||
teorie množin | |||
( ) 0028, 0029 { } 007B, 007D [ ] 005B, 005D ⟨, ⟩ 27E8, 27E9 | určení pořadí operací | Přednostně se dělá vnitřní operace. | (8/4)/2 = 2/2 = 1, ale 8/(4/2) = 8/2 = 4. V principu stačí jen kulaté závorky. Ostatní typy mívají speciální použití. |
kulaté závorky složené závorky hranaté závorky lomené závorky | |||
všude v matematice | |||
( ) 0028, 0029 | zápis funkce | f(x) značí funkci s jednou proměnnou, a to x. Takto se značí i zobrazení. | Jestliže f(x) := x2, pak f(3) = 32 = 9. |
funkce | |||
všude v matematice | |||
: → 003A 2192 | funkce | f: X → Y značí funkci (či obecně zobrazení) f z množiny X do množiny Y. | Mějme f: ℤ → ℕ definováno jako
|
funkce z ... do ... | |||
všude v matematice | |||
o 2218 | skládání funkcí | f∘g je funkce taková, že (f ∘ g)(x) = f(g(x)). | Když f(x)=2x a když g(x)=x+3, tak (f∘g)(x)=2(x+3). |
složeno s | |||
matematická analýza, teorie množin | |||
ℕ 2115 N 004E tučné | množina přirozených čísel | ℕ značí množinu { 1, 2, 3, ...} (existují i jiné definice). | ℕ = {|a| : a ∈ ℤ, a ≠ 0} |
N | |||
teorie čísel, matematická analýza | |||
ℤ 2124 Z 005A tučné | množina celých čísel | ℤ značí množinu {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. ℤ+ = ℕ. ℤ– = {..., −3, −2, −1}. | ℤ = {p, –p : p ∈ ℕ} ∪ {0} |
Z | |||
teorie čísel, matematická analýza | |||
ℚ 211A Q 0051 tučné | množina racionálních čísel | ℚ značí množinu{p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℕ}. | 3,140 00... ∈ ℚ π ∉ ℚ |
Q | |||
teorie čísel, matematická analýza | |||
ℝ 211D R 0052 tučné | reálné číslo | ℝ značí množinu všech reálných čísel. | π ∈ ℝ 3 + 2 i ∉ ℝ |
R | |||
teorie čísel, matematická analýza | |||
i 00 | imaginární jednotka | Imaginární jednotka i je kořenem rovnice x2 = –1 V elektrotechnice se značí j. Jak i, tak j se tisknou stojatě, nikoli kurzívou. | i2 = –1; –i2 = –1;
|
R | |||
teorie čísel, matematická analýza | |||
ℂ 2102 C 0043 tučné | komplexní čísla | ℂ je množina všech {a + b i : a, b ∈ ℝ}. | i2 = −1 ∈ ℂ |
C | |||
teorie čísel, matematická analýza | |||
∞ 221E | nekonečno | ∞ je prvek rozšířené reálné osy, který je větší než libovolné reálné číslo. (Existují i jiné definice nekonečna pro jiné matematické prostory). | |
nekonečno | |||
matematická analýza | |||
||…|| 2016... 2016 | norma | || x || značí normu prvku vektorového prostoru x. | || x + y || ≤ || x || + || y || (pro normy indukované skalárním součinem) |
norma vektoru; velikost vektoru | |||
lineární algebra, matematická analýza | |||
∑ 2211 | součet řady | značí a1 + a2 + … + an. | = 12 + 22 + 32 + 42
|
součet přes ... od ... do ... | |||
všude v matematice | |||
∏ 220F | součin řady | značí a1a2···an. | = (1+2)(2+2)(3+2)(4+2)
|
součin přes ... od ... do .. | |||
všude v matematice | |||
′ 2032 • | derivace | f ′(x) je derivace funkce f podle proměnné x Tečka většinou značí úplnou derivaci podle času, tedy např. . | Jestliže f(x) := x2, pak f ′(x) = 2x |
derivace | |||
matematická analýza | |||
∫ 222B | integrál | ∫ f(x) dx značí funkci, jejíž derivace je f. | ∫x2 dx = x3/3 + C |
integrál funkce ... | |||
matematická analýza | |||
∇ 2207 | gradient | je vektor parciálních derivací . | Jestliže , pak |
nabla, gradient funkce | |||
matematická analýza, tenzorový počet | |||
divergence | Jestliže , pak . | ||
divergence funkce | |||
matematická analýza, tenzorový počet | |||
rotace | Jestliže , pak . | ||
rotace funkce | |||
matematická analýza, tenzorový počet | |||
∂ 2202 | parciální derivace | Pro f (x1, …, xn) je ∂f/∂xi derivací f podle xi; ostatní proměnné jsou brány za konstanty. | Jestliže f(x,y) := x2y, pak ∂f/∂x = 2xy |
parciální derivace ... podle ... | |||
matematická analýza, ale i jinde | |||
hranice množiny | ∂M značí hranici množiny M | ∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| = 2} | |
hranice | |||
topologie, teorie množin, matematická analýza | |||
δ 03B4 | Diracova funkce delta | ; Distribuce, tedy zobecněná funkce:
| ∫cos x δ(x–a) dx = cos a |
Diracova funkce delta v x | |||
matematická analýza | |||
Kroneckerovo delta | δij | ||
Kroneckerovo delta | |||
lineární algebra, matematická analýza, ale i jinde | |||
(první) variace funkcionálu | (první) variace funkcionálu : | Jestliže pak | |
(první) variace | |||
matematická analýza (variační počet) | |||
⟂ 27C2 | ortogonalita | x ⊥ y znamená, že x je kolmé na y; nebo mnohem obecněji x je ortogonální na y. | Jestliže k ⊥ m a m ⊥ n, tak k || n. |
je kolmý, je ortogonální | |||
geometrie, lineární algebra, matematická analýza | |||
|| 2225 | rovnoběžnost | x || y značí, že x je rovnoběžné y. | Jestliže k || m a m ⊥ n, tak k ⊥ n. |
je rovnoběžné s | |||
geometrie | |||
⊗ 2297 | tenzorový součin | značí tenzorový součin V a U. | {1, 2, 3, 4} ⊗ {1, 1, 2} = {{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}} |
tenzorový součin ... a ... | |||
lineární algebra, tenzorový počet | |||
* 2217 | konvoluce | f * g značí konvoluci funkcí f a g. | |
konvoluce ... a ... | |||
funkcionální analýza | |||
𝑧̅ | průměr | značí aritmetický průměr z hodnot ). | . |
průměr | |||
statistika | |||
perioda | Označuje nějakou číslici nebo n-tici číslic, které se v zápise čísla stále opakují | ||
... periodických | |||
aritmetika | |||
uzávěr množiny | Množina všech bodů, jejichž libovolné okolí má neprázdný průnik s danou množinou. (Používá se i pro zúplnění metrického prostoru.) | ||
uzávěr množiny | |||
topologie a teorie množin, ale i jinde | |||
𝑧* 002A hor. ind. | konjugace | je komplexně sdružené číslo k z. | |
konjungováno | |||
komplexní analýza | |||
⟨, ⟩ 27E8, 27E9 [, ] 005B, 005D | uzavřený interval[2] | je interval čísel počínaje a včetně až po b včetně | |
algebra, matematická analýza, analytická geometrie | |||
(, ) 0028, 0029 ], [ 005D, 005B | otevřený interval[3] | je interval čísel počínaje od a (kromě a) až po b (kromě b) | |
algebra, matematická analýza, analytická geometrie | |||
(, ⟩ 0028, 27E9 (, ] 0028, 005D ], ] 005D, 005D | zleva polootevřený interval[4] | je zleva otevřený, zprava uzavřený interval čísel počínaje od a (kromě a) až po b včetně | |
algebra, matematická analýza, analytická geometrie | |||
⟨, ) 27E8, 0029 [, ) 005B, 0029 [, [ 005B, 005B | zprava polootevřený interval[5] | je zleva uzavřený, zprava otevřený interval čísel počínaje od a (včetně a) až po b (kromě b) | |
algebra, matematická analýza, analytická geometrie |
Odkazy
Poznámky
- ↑ https://web.archive.org/web/20170621042811/http://www.unmz.cz/urad/jazykove-prilohy-k-mpn-1
- ↑ ČSN ISO 80000-2, Veličiny a jednotky –- Část 2: Matematické znaky a značky užívané v přírodních vědách a technice; březen 2012
- ↑ Definice v oboru reálných čísel: Odmocnina z nezáporného reálného čísla je nezáporné reálné číslo.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Table of mathematical symbols na anglické Wikipedii.
- ↑ The Unicode Standard, Version 13.0
- ↑ druhý zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.7, tzv. anglický resp. francouzský zápis
- ↑ druhý zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.10, tzv. francouzský zápis
- ↑ druhý resp. třetí zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.8, tzv. anglický resp. francouzský zápis
- ↑ druhý resp. třetí zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.9, tzv. anglický resp. francouzský zápis
Literatura
- ČSN ISO 80000-2:2012
- ISO 80000-2:2009
- The Unicode Standard, Version 6.3