Lineární lomená funkce je funkce, kterou lze zapsat ve tvaru f ( x ) : y = a x + b c x + d ; a , b , c , d ∈ R , c ≠ 0 {\displaystyle f(x):y={\frac {ax+b}{cx+d}};\,a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\,c\neq 0} .
Vlastnosti Definičním oborem jsou všechna reálná čísla s jednou výjimkou − d c {\displaystyle {\frac {-d}{c}}} (tj. D f = R ∖ { − d c } {\displaystyle D_{f}=R\setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}} ). Grafem této funkce je (v nedegenerovaném případě) hyperbola se středem v bodě [ − d c ; a c ] {\displaystyle \left[{\frac {-d}{c}};{\frac {a}{c}}\right]} . Asymptoty ( x = − d c {\displaystyle x={\frac {-d}{c}}} ; y = a c {\displaystyle y={\frac {a}{c}}} ) procházejí středem a jsou rovnoběžné s osami souřadnic. Jestliže by bylo c = 0 {\displaystyle c=0} , již by se nejednalo o lineární lomenou funkci, ale lineární funkci f : y = a d x + b d . {\displaystyle f:y={\frac {a}{d}}x+{\frac {b}{d}}.} Vlastnosti funkce závisí na hodnotě výrazu a d − b c {\displaystyle ad-bc} .
Pro a d − b c > 0 {\displaystyle ad-bc>0} ( a d > b c {\displaystyle ad>bc} ) se jedná o hyperbolu rostoucí na intervalech ( − ∞ ; − d c ) {\displaystyle (-\infty ;{\frac {-d}{c}})} a ( − d c ; ∞ ) . {\displaystyle ({\frac {-d}{c}};\infty ).} Pro a d − b c = 0 {\displaystyle ad-bc=0} ( a d = b c {\displaystyle ad=bc} ) by se jednalo o přímku f ( x ) : y = a c . {\displaystyle f(x):y={\frac {a}{c}}.} Pro a d − b c < 0 {\displaystyle ad-bc<0} ( a d < b c {\displaystyle ad<bc} ) se jedná o hyperbolu klesající na intervalech ( − ∞ ; − d c ) {\displaystyle (-\infty ;{\frac {-d}{c}})} a ( − d c ; ∞ ) . {\displaystyle ({\frac {-d}{c}};\infty ).} Derivace lomené funkce je
( a x + b c x + d ) ′ = a ( c x + d ) − c ( a x + b ) ( c x + d ) 2 . {\displaystyle \left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{'}={\frac {a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d)^{2}}}.} Po roznásobení závorek a následném odečtení vznikne tvar
a d − c b ( c x + d ) 2 . {\displaystyle {\frac {ad-cb}{(cx+d)^{2}}}.}
Související články Pahýl Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.
Portály: Matematika