Kochaňského konstrukce

Kochańského konstrukce je přibližná metoda rektifikace kružnice neboli konstrukce úsečky o délce rovné polovině obvodu daného kruhu navržená v roce 1685 polským matematikem Adamem Adamandym Kochańským^[1]. Umožňuje sestrojení úsečky, která je přibližně ${\displaystyle \pi }$-krát delší než daná úsečka. Jejím využitím lze také provést přibližnou kvadraturu kruhu.

Je dána kružnice se středem v bodě ${\displaystyle P_{1}}$ a poloměrem ${\displaystyle r.}$

• Sestrojíme průměr kružnice ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{3}}}.}$
• Sestrojíme tečnu ke kružnici v bodě ${\displaystyle P_{2}.}$
• Sestrojíme kružnici (nebo kruhový oblouk) se středem v bodě ${\displaystyle P_{2}}$ a poloměrem ${\displaystyle r.}$ Jeden z průsečíků s původní kružnicí označíme ${\displaystyle P_{4}.}$
• Sestrojíme kružnici (kruhový oblouk) se středem v bodě ${\displaystyle P_{4}}$ a poloměrem ${\displaystyle r.}$ Jeden z průsečíků kruhových oblouků je ${\displaystyle P_{1}}$, druhý označíme ${\displaystyle P_{5}.}$ Body ${\displaystyle P_{1}}$ a ${\displaystyle P_{5}}$ tvoří osu úsečky ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{4}}}.}$
• Průsečík ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{5}}}}$ s tečnou ke kružnici vedenou bodem ${\displaystyle P_{2}}$ označíme ${\displaystyle P_{6}.}$
• Na polopřímku ${\displaystyle {\overline {P_{6}P_{2}}}}$ naneseme od bodu ${\displaystyle P_{6}}$ 3krát vzdálenost ${\displaystyle r}$, čímž získáme postupně body ${\displaystyle P_{7},}$ ${\displaystyle P_{8},}$ ${\displaystyle P_{9}.}$
• Úsečka ${\displaystyle {\overline {P_{3}P_{9}}}}$ má délku přibližně rovnou ${\displaystyle \pi r}$

${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3{,}141\,533\,338\,7\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$

Stojí za zmínku, že úsečka ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{5}}}}$ je výškou rovnostranného trojúhelníka ${\displaystyle {P_{1}}{P_{4}}{P_{2}},}$ což znamená, že svírá úhel 30° s úsečkou ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{3}}}}$^[2].

${\displaystyle \left|\pi -{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\right|\approx 0{,}000\,059\,314\,884\,7.}$

Proto se chyba objeví až na pátém místě za desetinnou čárkou. Takové přiblížení v praktických případech obvykle postačuje.

Na základě Kochańského konstrukce je možná také přibližná kvadratura kruhu. Ilustruje ji následující obrázek.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Konstrukcja Kochańskiego na polské Wikipedii.

• Rektifikace kružnice
• Kvadratura kruhu
• Kvadratura (matematika)