Tento článek je o rovinné křivce. O literárním pojmu pojednává článek Hyperbola (literatura).
Hyperbola jako kuželosečka . Ilustrace definice: ohniska (B1 , B2 ); bod hyperboly (P ); vzdálenosti ohnisek (d1 , d2 ). Hyperbola je rovinná křivka , kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.
Hyperbola také tvoří graf funkce y = 1 / x {\displaystyle y=1/x} v kartézské soustavě souřadnic .
Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost .
Matematická vyjádření Implicitní vyjádření
‖ F 1 X ‖ − ‖ F 2 X ‖ = 2 a {\displaystyle \|F_{1}X\|-\|F_{2}X\|=2a\,\!} Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek F 1 {\displaystyle F_{1}} a F 2 {\displaystyle F_{2}} konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností .
Kartézský souřadnicový systém Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou y . Standardní popis hyperboly:
S[m, n] – Střed hyperboly o souřadnicích m, n F1 , F2 – ohniska hyperboly A, B – vrcholy hyperboly o1 – hlavní osa hyperboly o2 – vedlejší osa hyperboly p1 , p2 – asymptoty hyperboly | A S | = | S B | = a {\displaystyle |AS|=|SB|=a\,\!} – délka hlavní poloosy | C S | = | S D | = b {\displaystyle |CS|=|SD|=b\,\!} – délka vedlejší poloosy | F 1 S | = | F 2 S | = a 2 + b 2 = e {\displaystyle |F_{1}S|=|F_{2}S|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=e\,\!} excentricita | A B | = 2 a {\displaystyle |AB|=2a\,\!} – délka hlavní osy | C D | = 2 b {\displaystyle |CD|=2b\,\!} – délka vedlejší osy X[x, y] – libovolný bod náležící hyperbole
Pokud a = b {\displaystyle a=b} , pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly .
Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění Hlavní osa o 1 {\displaystyle o_{1}} hyperboly rovnoběžná s osou x {\displaystyle x} Středová rovnice : ( x − m ) 2 a 2 − ( y − n ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {(x-m)^{2} \over a^{2}}-{(y-n)^{2} \over b^{2}}=1\,\!} Obecná rovnice : A x 2 − B y 2 + C x + D y + E = 0 , A > 0 , B > 0 {\displaystyle Ax^{2}-By^{2}+Cx+Dy+E=0\;,A>0,B>0\,\!} Rovnice asymptot : y − n = ± b a ( x − m ) {\displaystyle y-n=\pm {b \over a}(x-m)\,\!} Rovnice tečny v bodě T [ x 0 , y 0 ] {\displaystyle T[x_{0},y_{0}]} : ( x − m ) ( x 0 − m ) a 2 − ( y − n ) ( y 0 − n ) b 2 = 1 {\displaystyle {(x-m)(x_{0}-m) \over a^{2}}-{(y-n)(y_{0}-n) \over b^{2}}=1\,\!} Hlavní osa o 1 {\displaystyle o_{1}} hyperboly rovnoběžná s osou y {\displaystyle y} Středová rovnice : ( y − n ) 2 a 2 − ( x − m ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {(y-n)^{2} \over a^{2}}-{(x-m)^{2} \over b^{2}}=1\,\!} Obecná rovnice : − A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , A > 0 , B > 0 {\displaystyle -Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0\;,A>0,B>0\,\!} Rovnice asymptot : y − n = ± a b ( x − m ) {\displaystyle y-n=\pm {a \over b}(x-m)\,\!} Rovnice tečny v bodě T [ x 0 , y 0 ] {\displaystyle T[x_{0},y_{0}]} : ( y − n ) ( y 0 − n ) a 2 − ( x − m ) ( x 0 − m ) b 2 = 1 {\displaystyle {(y-n)(y_{0}-n) \over a^{2}}-{(x-m)(x_{0}-m) \over b^{2}}=1\,\!} Asymptoty p 1 , p 2 {\displaystyle p_{1},p_{2}} rovnoběžné s osami x {\displaystyle x} a y {\displaystyle y} Asymptoty totožné s osami x a y : y = 1/x Středová rovnice : ( x − m ) ( y − n ) = c {\displaystyle (x-m)(y-n)=c\,\!} a = b = 2 | c | {\displaystyle a=b={\sqrt {2|c|}}\,\!} Obecná rovnice : x y + A x + B y + C = 0 {\displaystyle xy+Ax+By+C=0\,\!} Rovnice asymptot : x = m , y = n {\displaystyle x=m,y=n\,\!}
Převedení obecné rovnice na středovou Uspořádáme členy v rovnici .
2 x 2 + 4 x − y 2 + 3 y − 17 4 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+4x-y^{2}+3y-{17 \over 4}=0\,\!} Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient ) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu . To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.
2 [ ( x + 1 ) 2 − 1 ] − [ ( y − 3 2 ) 2 − 9 4 ] = 17 4 {\displaystyle 2\left[{(x+1)}^{2}-1\right]-\left[{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}-{9 \over 4}\right]={17 \over 4}\,\!} Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.
2 ( x + 1 ) 2 − 2 − ( y − 3 2 ) 2 + 9 4 = 17 4 {\displaystyle 2(x+1)^{2}-2-{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}+{9 \over 4}={17 \over 4}\,\!} 2 ( x + 1 ) 2 − ( y − 3 2 ) 2 = 4 {\displaystyle 2(x+1)^{2}-{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}=4\,\!} ( x + 1 ) 2 2 − ( y − 3 2 ) 2 4 = 1 {\displaystyle {(x+1)^{2} \over 2}-{{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2} \over 4}=1\,\!} Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly. Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa o 1 {\displaystyle o_{1}} je rovnoběžná s osou x {\displaystyle x} . S [ − 1 , 3 2 ] {\displaystyle S\left[-1,{3 \over 2}\right]\,\!} , a = 2 {\displaystyle a={\sqrt {2}}\,\!} , b = 2 {\displaystyle b=2\,\!} , e = 6 {\displaystyle e={\sqrt {6}}\,\!} , p 1 : y = 2 x + 3 + 2 2 2 {\displaystyle p_{1}:y={\sqrt {2}}x+{3+2{\sqrt {2}} \over 2}\,\!} , p 2 : y = − 2 x + 3 − 2 2 2 {\displaystyle p_{2}:y=-{\sqrt {2}}x+{3-2{\sqrt {2}} \over 2}\,\!}
Vzájemná poloha hyperboly a přímky Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky . Jestliže vyjde lineární rovnice , která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot – přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem . Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna . Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant D {\displaystyle D} je:
D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku D < 0 žádné řešení – přímka je nesečna
Vzájemná poloha hyperboly a bodu Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:
výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly
Polární souřadnicový systém Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:
r 2 = a 2 b 2 b 2 cos 2 θ − a 2 sin 2 θ {\displaystyle r^{2}={a^{2}b^{2} \over b^{2}\cos ^{2}\theta -a^{2}\sin ^{2}\theta }\,\!} Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:
r = a ( ϵ 2 − 1 ) 1 − ϵ cos θ {\displaystyle r={a(\epsilon ^{2}-1) \over 1-\epsilon \cos \theta }\,\!}
Literatura Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I , Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5 , str. 102–103, 118–121 a 179–181 Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná , Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4 , str. 116–117
Související články
Externí odkazy Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbola na Wikimedia Commons Vyčerpávající popis hyperboly Portály: Matematika